Exercício 0.2 Calcule a derivada das seguintes funções utilizando sua definição:
h(x)=2-x^3; em x0=-2.

Passo 1

O problema pede pra gente calcular a derivada de h(x)=2 - x^3 em x0=-2 usando a definição de derivada (diferenças finitas). Isso é conteúdo de derivada do primeiro princípio, onde vamos usar a ideia de limite do quociente de diferenças.

Passo 2

A definição de derivada no ponto x0 é
h'(x0)=limxto x0h(x)-h(x0)x-x0
Primeiro calculamos h(-2):
h(-2)=2 - (-2)^3 = 2 - (-8) = 10
Substituindo na definição, ficamos com
h(x)-h(-2)x - (-2) =(2 - x^3) - 10x+2 =-x^3 - 8x+2

Passo 3

Agora vamos simplificar o numerador usando fatoração de soma de cubos: x^3 + 8 = (x+2)(x^2 - 2x +4). Então
-x^3 - 8x+2 = -x^3+8x+2 = -(x^2 - 2x +4)

Passo 4

Por fim, calculamos o limite quando xto -2 da expressão simplificada:
limxto -2 [-(x^2 - 2x +4)] = -l[(-2)^2 - 2(-2) +4r] = -[4 +4 +4] = -12

Resposta

-12

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