Mostre que: integral x^3 cdot cos (x^2) d x=12[x^2 cdot sen(x^2)+cos (x^2)]+k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a integral de $ x^{3} \cdot \cos \left(x^{2}\right) $ em relação a $ x $ é igual a $ \frac{1}{2}\left[x^{2} \cdot \sin\left(x^{2}\right) + \cos \left(x^{2}\right)\right] + k $.
Nesse caso, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando uma função que envolve polinômios e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto da diferenciação:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão $ u $ e quais serão $ dv $.

Passo 3

Vamos escolher:
u = x^2 e dv = x cdot cos(x^2) , dx
Agora, precisamos encontrar $ du $ e $ v $.

Passo 4

Calculando $ du $:
du
Agora, para encontrar $ v $, integramos $ dv $:
du = ddx(x^2) , dx = 2x , dx
Fazendo uma substituição simples, onde $ w = x^{2} $, então $ dw = 2x , dx $, ou seja, $ x , dx = \frac{dw}{2} $. Então:
v

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x^3 cos(x^2) , dx = x^2 cdot ( 12 sin(x^2) ) - integral ( 12 sin(x^2) ) cdot 2x , dx
Simplificando:
= 12 x^2 sin(x^2) - integral sin(x^2) cdot x , dx

Passo 6

Agora, observamos que temos outra integral para resolver: $ \int x \sin(x^{2}) , dx $. Vamos resolver essa integral usando substituição.
Deixe $ w = x^{2} $, então $ dw = 2x , dx $, ou seja, $ x , dx = \frac{dw}{2} $. Então:
integral x sin(x^2) , dx

Passo 7

Voltando à nossa expressão anterior:
12 x^2 sin(x^2) - ( -12 cos(x^2) ) + C
Simplificando os sinais:
= 12 x^2 sin(x^2) + 12 cos(x^2) + C

Resposta

Portanto,
integral x^3 cdot cos (x^2) , dx = 12[x^2 cdot sin(x^2) + cos (x^2)] + k

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