Mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a integral de $ x^{3} \cdot \cos \left(x^{2}\right) $ em relação a $ x $ é igual a $ \frac{1}{2}\left[x^{2} \cdot \sin\left(x^{2}\right) + \cos \left(x^{2}\right)\right] + k $.
Nesse caso, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando uma função que envolve polinômios e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto da diferenciação:
Aqui, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão $ u $ e quais serão $ dv $.
Passo 3
Vamos escolher:
Agora, precisamos encontrar $ du $ e $ v $.
Passo 4
Calculando $ du $:
Agora, para encontrar $ v $, integramos $ dv $:
Fazendo uma substituição simples, onde $ w = x^{2} $, então $ dw = 2x , dx $, ou seja, $ x , dx = \frac{dw}{2} $. Então:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, observamos que temos outra integral para resolver: $ \int x \sin(x^{2}) , dx $. Vamos resolver essa integral usando substituição.
Deixe $ w = x^{2} $, então $ dw = 2x , dx $, ou seja, $ x , dx = \frac{dw}{2} $. Então:
Passo 7
Voltando à nossa expressão anterior:
Simplificando os sinais:
Resposta
Portanto,