(1,5 ponto) Encontre as constantes reais a, b, c e d tais que
f(x, y)=2 x^2+a x y+b y^2+i(c x^2+d x y-y^2)
seja analítica em todo o plano complexo.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar constantes reais a, b, c e d tais que a função
f(x,y)=2x^2+a x y+b y^2+il(c x^2+d x y-y^2r)
seja analítica em todo o plano. Para isso vamos usar as equações de Cauchy-Riemann, que garantem a holomorphicidade de f.

Passo 2

Primeiro separamos parte real e parte imaginária de f. Definimos
u(x,y)=2x^2+a x y+b y^2,
v(x,y)=c x^2+d x y-y^2

Passo 3

Aplicamos as equações de Cauchy-Riemann:
ux=vy,
uy=-vx
Para isso, calculamos as derivadas parciais:
ux=4x+a y,
uy=a x+2b y,
vx=2c x+d y,
vy=d x-2y

Passo 4

Igualando em ux=vy:
4x+a y = d x -2y
Comparando coeficientes de x e y obtemos
4=d,
a=-2
Igualando em uy=-vx:
a x+2b y = -l(2c x+d yr)
Comparando coeficientes de x e y obtemos
a=-2c,
2b=-d
Substituindo a=-2 e d=4 achamos
c=1,
b=-2

Resposta

a = -2, b = -2, c = 1, d = 4

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