(1,5 ponto) Encontre as constantes reais
e
tais que
seja analítica em todo o plano complexo.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar constantes reais a, b, c e d tais que a função
seja analítica em todo o plano. Para isso vamos usar as equações de Cauchy-Riemann, que garantem a holomorphicidade de f.
Passo 2
Primeiro separamos parte real e parte imaginária de f. Definimos
Passo 3
Aplicamos as equações de Cauchy-Riemann:
Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
Igualando em
:
Comparando coeficientes de
e
obtemos
Igualando em
:
Comparando coeficientes de
e
obtemos
Substituindo
e
achamos
Resposta
a = -2, b = -2, c = 1, d = 4