Determine a família de primitivas para cada função: integral0^pi / 4(1+tg(u))^3 cdot sec ^2(u) d u

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida integral0^pi/4(1+tan u)^3,sec^2u,du. O conteúdo aqui é cálculo de integrais por substituição: a gente vai identificar uma função composta cuja derivada aparece multiplicada.

Passo 2

A observação chave é que a derivada de tan u é sec^2u. Então, se fizermos a substituição
v = 1 + tan u,
então
dv = sec^2u,du

Passo 3

Com essa substituição, o integrando (1+tan u)^3,sec^2u,du vira v^3,dv. Como é integral definida, precisamos ajustar os limites: quando u=0, v=1+tan0=1; quando u=pi/4, v=1+tan(pi/4)=2. Logo,
integral0^pi/4(1+tan u)^3,sec^2u,du = integral1^2v^3,dv

Passo 4

Agora calculamos a primitiva de v^3, que é tfracv^44. Aplicando os limites de 1 a 2:
gl[v^44gr]1^2 = 2^44 - 1^44 = 16 - 14 = 154

Passo 5

Portanto, usando substituição e a primitiva de v^3, chegamos ao valor da integral definida.

Resposta

\tfrac{15}{4}

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