Exercício 0.12 Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Vamos calcular o limite
. Esse exercício está dentro da Matemática, mais especificamente no estudo de limites envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como essas funções se comportam perto de
, utilizando séries de Taylor para aproximar as funções.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir a função exponencial
em uma série de Taylor em torno de
:
Passo 3
Agora, vamos expandir a função cosseno
em uma série de Taylor em torno de
:
Passo 4
Em seguida, expandimos a função seno
em uma série de Taylor em torno de
:
Passo 5
Vamos substituir essas expansões na expressão original do limite:
Simplificando:
E para o denominador:
Passo 6
Agora, substituímos essas simplificações no limite:
Dividindo numerador e denominador por
:
À medida que
tende a 0, os termos que contêm
e potências superiores se tornam insignificantes, então o limite simplifica para:
Isso sugere que o limite tende ao infinito. No entanto, observando os termos mais precisos, percebemos que a razão entre os termos dominantes do numerador e denominador é:
À medida que
tende a 0,
tende a
.
Resposta
O limite é infinito, ou seja,