Exercício 0.12 Calcule os seguintes limites:
lim r 0 e^r-cos (r)r cdot sen(r)

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse exercício está dentro da Matemática, mais especificamente no estudo de limites envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como essas funções se comportam perto de , utilizando séries de Taylor para aproximar as funções.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a função exponencial e^r = 1 + r + r^22! + r^33! + dots em uma série de Taylor em torno de :

Passo 3

Agora, vamos expandir a função cosseno cos(r) = 1 - r^22! + r^44! - dots em uma série de Taylor em torno de :

Passo 4

Em seguida, expandimos a função seno sin(r) = r - r^33! + r^55! - dots em uma série de Taylor em torno de :

Passo 5

Vamos substituir essas expansões na expressão original do limite:
e^r - cos(r) = (1 + r + r^22 + r^36 + dots ) - (1 - r^22 + r^424 - dots )
Simplificando:
e^r - cos(r) = r + r^2 + r^36 + dots
E para o denominador:
r cdot sin(r) = r ( r - r^36 + dots ) = r^2 - r^46 + dots

Passo 6

Agora, substituímos essas simplificações no limite:
limr 0 r + r^2 + r^36 + dotsr^2 - r^46 + dots
Dividindo numerador e denominador por limr 0 1 + r + r^26 + dotsr - r^36 + dots :
limr 0 10
À medida que rr^2 = 1r tende a 0, os termos que contêm e potências superiores se tornam insignificantes, então o limite simplifica para:
Isso sugere que o limite tende ao infinito. No entanto, observando os termos mais precisos, percebemos que a razão entre os termos dominantes do numerador e denominador é:
À medida que tende a 0, tende a .

Resposta

O limite é infinito, ou seja,
limr 0 e^r - cos(r)r cdot sin(r) = +infty

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