Determine uma família de soluções da EDO
e^y cotg x+2 x cossec x+e^y d yd x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
e^ycot x ;+;2x,csc x;+;e^ydydx=0
O conteúdo é resolução de equação não exata por fator integrante. Vamos reescrever na forma
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0,
identificar que não é exata, achar um fator integrante em x e integrar.

Passo 2

Reescrevendo
M(x,y)=e^ycot x + 2xcsc x, N(x,y)=e^y
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y=e^ycot x, partial Npartial x=0
Como partial M/partial yneqpartial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu(x). Observamos que
partial Mpartial y-partial Npartial xN =e^ycot x-0e^y=cot x,
que depende só de x. Logo
mu(x)=expl(integral cot x,dxr) =exp(ln|sin x|) =sin x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por sin x:
l(e^ycot x+2xcsc xr)sin x,dx +;e^ysin x,dy=0,
que simplifica para
l(e^ycos x+2xr),dx +;e^ysin x,dy=0
Chame
M1=e^ycos x+2x, N1=e^ysin x
Verificamos
partial M1partial y=e^ycos x, partial N1partial x=e^ycos x,
logo é exata.

Passo 5

Buscamos Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x=e^ycos x+2x
Integrando em x,
Psi(x,y) =integral(e^ycos x+2x),dx =e^ysin x + x^2 +h(y)
Derivando em y e igualando a N1:
partial Psipartial y =e^ysin x + h'(y) stackrel!=e^ysin x ;Longrightarrow; h'(y)=0
Logo h(y)= constante.

Passo 6

A condição Psi(x,y)=C fornece a solução geral implícita:
e^ysin x + x^2 = C

Resposta

A família de soluções é dada implicitamente por
e^ysin x + x^2 = C,
com C constante arbitrária.

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