Determine uma família de soluções da EDO
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
O conteúdo é resolução de equação não exata por fator integrante. Vamos reescrever na forma
identificar que não é exata, achar um fator integrante em
e integrar.
Passo 2
Reescrevendo
Calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
. Observamos que
que depende só de
. Logo
Passo 4
Multiplicamos toda a equação por
:
que simplifica para
Chame
Verificamos
logo é exata.
Passo 5
Buscamos
tal que
Integrando em
,
Derivando em
e igualando a
:
Logo
constante.
Passo 6
A condição
fornece a solução geral implícita:
Resposta
A família de soluções é dada implicitamente por
com
constante arbitrária.