Encontre uma família de soluções da EDO:
d yd x=3 y^2-x^22 x y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a família de soluções da EDO
dydx = 3y^2 - x^22xy
Esse tipo de equação é homogênea, pois o quociente à direita depende apenas de y/x. Para resolver, vamos usar a substituição
y = v,x,
transformar em uma EDO separável e integrar.

Passo 2

Com y = v x temos
dydx = v + xdvdx
Substituindo na EDO original:
v + xdvdx = 3(vx)^2 - x^22x,(v x) = 3v^2x^2-x^22v,x^2 = 3v^2-12v
Então
xdvdx = 3v^2-12v - v = 3v^2-1 -2v^22v = v^2-12v

Passo 3

Reescrevendo para separar as variáveis:
2vv^2-1,dv = dxx
Agora basta integrar ambos os lados.

Passo 4

Integramos
integral 2vv^2-1,dv e integral dxx
Fazendo u = v^2-1, du = 2v,dv, obtemos
integral 2vv^2-1,dv = integral duu = lnl|v^2-1r| + C1,
e
integral dxx = ln|x| + C2
Igualando (absorvendo constantes num único C):
lnl|v^2-1r| = ln|x| + C Longrightarrow l|v^2-1r| = K,x,
onde K = e^C é constante arbitrária.

Passo 5

Como v = y/x, temos
y^2x^2 - 1 = K,x Longrightarrow y^2 = x^2 + K,x^3
Podemos reescrever a família de soluções em forma explicíta de y:
y = pm xraiz1 + K,x,
com K constante arbitrária.

Resposta

A família geral de soluções é
y^2 = x^2 + C,x^3,
ou, equivalentemente,
y = pm xraiz1 + C,x,
onde C é a constante de integração.

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