Encontre uma família de soluções da EDO:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a família de soluções da EDO
Esse tipo de equação é homogênea, pois o quociente à direita depende apenas de
. Para resolver, vamos usar a substituição
transformar em uma EDO separável e integrar.
Passo 2
Com
temos
Substituindo na EDO original:
Então
Passo 3
Reescrevendo para separar as variáveis:
Agora basta integrar ambos os lados.
Passo 4
Integramos
Fazendo
,
, obtemos
e
Igualando (absorvendo constantes num único
C ):
onde
K = e^C é constante arbitrária.
Passo 5
Como
v = y/x , temos
Podemos reescrever a família de soluções em forma explicíta de
y :
com
K constante arbitrária.
Resposta
A família geral de soluções é
ou, equivalentemente,
onde
C é a constante de integração.