Determine uma família de soluções da EDO
y-2 x+(2 y-x) d yd x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
y - 2x + (2y - x),dydx = 0
Este tipo de equação é homogênea (os termos em x e y têm o mesmo grau). Vamos usar a substituição padrão para EDOs homogêneas, que é
y = v x, dydx = v + x,dvdx

Passo 2

Primeiro isolamos dydx. Da equação dada, temos
(2y - x),dydx = 2x - y
ou seja
dydx = 2x - y2y - x

Passo 3

Fazendo y = v x e dydx = v + x,dvdx, substituímos na forma acima:
v + x,dvdx = 2 - v2v - 1
Então
x,dvdx = 2 - v2v - 1 - v = 2 - v - v(2v - 1)2v - 1 = 2 - 2v^22v - 1 = 2,(1 - v^2)2v - 1

Passo 4

Agora separamos variáveis:
2v - 11 - v^2,dv = 2x,dx
Integramos dos dois lados:

Passo 5

Para integrar o lado esquerdo fazemos frações parciais
2v - 11 - v^2 =-tfrac321+v+tfrac121-v
Logo
integral 2v - 11 - v^2,dv = -32lnl|1+vr| - 12lnl|1-vr| = -12ln!l|(1+v)^3(1-v)r|
Do outro lado
integral 2x,dx = 2ln|x|
Então obtemos
-tfrac12ln!l|(1+v)^3(1-v)r| = 2ln|x| + C1

Passo 6

Multiplicando por -2 e exponenciando, chega-mos a
(1+v)^3(1-v) = C,x^-4,
onde C é constante arbitrária. Lembrando que v=y/x, temos
l(1+tfracyxr)^3!l(1-tfracyxr) = (x+y)^3,(x-y)x^4 = C,x^-4
Multiplicando ambos os lados por x^4, a solução implícita fica

Passo 7

(x+y)^3,(x-y) = K,
onde K é constante arbitrária de integração.

Resposta

(x+y)^3,(x-y) = K

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