Faça o esboço do gráfico da função inversa do cosseno.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função inversa do cosseno, ou seja
f(x)=arccos(x)
O conteúdo é funções inversas em que primeiro restringimos o cos(x) para torná-lo bijetivo e depois obtemos sua inversa. Para resolver, precisamos conhecer a restrição de domínio do cosseno, domínio e imagem de arccos, pontos notáveis e monotonicidade.

Passo 2

Para existir inversa, restringimos o coseno ao intervalo
coscolon[0,pi]to[-1,1],
onde ele é bijetivo e decrescente. A inversa dessa aplicação é
arccoscolon[-1,1]to[0,pi]

Passo 3

Da definição da inversa segue imediatamente:
o domínio de arccos é
[-1,1],
e a imagem (ou contradomínio) é
[0,pi]

Passo 4

Calculamos os pontos mais importantes:
arccos(-1)=pi, arccos(0)=pi2, arccos(1)=0

Passo 5

Para saber a forma geral da curva, note que
ddx,arccos(x)=-1raiz1-x^2<0
em todo (-1,1). Isso mostra que arccos(x) é estritamente decrescente e tem “tangente” vertical (derivada tende a -infty) quando xtopm1.

Passo 6

No plano cartesiano, desenhe:
– eixo horizontal x marcando de -1 a 1.
– eixo vertical y marcando de 0 a pi.
Marque os pontos (-1,pi), (0,pi/2) e (1,0). Ligue-os por uma curva suave decrescente, com inclinação cada vez maior ao aproximar-se das extremidades.

Resposta

O gráfico de y=arccos(x) é uma curva contínua e estritamente decrescente que parte de (-1,pi), passa em (0,pi/2) e termina em (1,0), com domínio [-1,1] e imagem [0,pi].

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