Exercício 8.14 Usando a representação em série de MacLaurin da função exponencial, justifique a igualdade
(e^x^2)^prime=2 x e^x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o Exercício 8.14 juntos! A questão pede para usarmos a série de MacLaurin da função exponencial para justificar que a derivada de $ e{x{2}} $ é igual a $ 2x e{x{2}} $. Para isso, vamos precisar lembrar como funciona a série de MacLaurin e como derivar funções representadas por séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de MacLaurin. É uma representação de uma função como uma soma infinita de termos derivados das suas derivadas no ponto 0. Para a função exponencial $ e^{x} $, a série de MacLaurin é:
e^x

Passo 3

Agora, queremos a série de MacLaurin para $ e{x{2}} $. Para isso, vamos substituir $ x $ por $ x^{2} $ na série de $ e^{x} $:
e^x^2

Passo 4

Vamos agora derivar $ e{x{2}} $ termo a termo. Sabemos que a derivada de $ x^{k} $ é $ kx^{k-1} $, então aplicando isso à série:
e^x^2
Podemos simplificar cada termo:
x^k

Passo 5

Observando a soma dentro dos parênteses, percebemos que ela corresponde à série original de $ e{x{2}} $:
e^x^2
Portanto, podemos escrever:
1 + 2x^22! + 3x^43! + dots = e^x^2

Resposta

A derivada de $ e{x{2}} $ é $ 2x e{x{2}} $.

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