Exercício 8.14 Usando a representação em série de MacLaurin da função exponencial, justifique a igualdade
Passo 1
Beleza, vamos resolver o Exercício 8.14 juntos! A questão pede para usarmos a série de MacLaurin da função exponencial para justificar que a derivada de $ e{x{2}} $ é igual a $ 2x e{x{2}} $. Para isso, vamos precisar lembrar como funciona a série de MacLaurin e como derivar funções representadas por séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de MacLaurin. É uma representação de uma função como uma soma infinita de termos derivados das suas derivadas no ponto 0. Para a função exponencial $ e^{x} $, a série de MacLaurin é:
Passo 3
Agora, queremos a série de MacLaurin para $ e{x{2}} $. Para isso, vamos substituir $ x $ por $ x^{2} $ na série de $ e^{x} $:
Passo 4
Vamos agora derivar $ e{x{2}} $ termo a termo. Sabemos que a derivada de $ x^{k} $ é $ kx^{k-1} $, então aplicando isso à série:
Podemos simplificar cada termo:
Passo 5
Observando a soma dentro dos parênteses, percebemos que ela corresponde à série original de $ e{x{2}} $:
Portanto, podemos escrever:
Resposta
A derivada de $ e{x{2}} $ é $ 2x e{x{2}} $.