Determine os fasores correspondentes aos seguintes sinais:
i(t)=-60 \cos \left(30 t+10^{\circ}\right) \mathrm{mA}

Passo 1

O enunciado fornece o sinal de corrente
i(t) = -60 \cos\bigl(30t + 10^\circ\bigr)\\ \text{mA}
e pede para determinar os fasores correspondentes.
Informações relevantes dadas:
\text{amplitude (valor de pico)} = -60\\ \text{mA (aplicado ao cosseno)},\quad \omega=30\\ \text{rad/s},\quad \text{ângulo de fase} = 10^\circ.â

Passo 2

O que é um fasor e como fazemos a correspondência (aula rápida e prática).
  • Um fasor é a representação complexa da amplitude de uma senoide no domínio da frequência, abstraindo a dependência temporal por e^{j\omega t}.
  • Se tivermos um sinal no tempo da forma \;A\cos(\omega t+\varphi)\;, o fasor de pico (ou fasor de amplitude máxima) é simplesmente
\hat{A}=A\angle\varphi,
onde A é a magnitude de pico e \varphi é a fase em graus (ou rad). Aqui cada símbolo significa: A = amplitude de pico (mesma unidade do sinal), \omega = frequência angular (não entra no fasor, apenas na exponencial), \varphi = fase.
  • Se quisermos o fasor em valor eficaz (RMS), usamos a mesma fase e dividimos a amplitude de pico por \sqrt{2}:
A_{\text{rms}}=\frac{A}{\sqrt{2}}\quad\Rightarrow\quad \text{fasor RMS } = A_{\text{rms}}\angle\varphi.
Vou fornecer tanto o fasor de pico quanto o fasor RMS — assim você sabe usar ambos na prova.

Passo 3

Tratar o sinal negativo inicial (por que o sinal “-” muda a fase).
Temos -60\cos(30t+10^\circ). Usamos a identidade
-\cos(\theta)=\cos(\theta+180^\circ).
Aplicando aqui:
-60\cos\bigl(30t+10^\circ\bigr)=60\cos\bigl(30t+10^\circ+180^\circ\bigr)=60\cos\bigl(30t+190^\circ\bigr).
Ou seja, podemos ver o sinal como uma senoide de amplitude positiva 60 mA e fase 190^\circ. Isso evita carregar o sinal “-” separadamente: incorporamos o sinal no ajuste de fase.

Passo 4

Fasor de pico (polar) diretamente a partir da forma acima.
Pelo passo anterior, o fasor de pico é
\hat{I}=60\angle190^\circ\\ \text{mA}.
Explicando: escolhemos a convenção em que o fasor corresponde ao coeficiente complexo multiplicando e^{j\omega t} quando a forma temporal é \cos(\omega t+\varphi). Aqui o pico é 60 e a fase é 190^\circ.

Passo 5

Converter o fasor de pico para forma retangular (complexa) — passo a passo numérico (sem pular etapas).
  • Primeiro calcule \cos190^\circ e \sin190^\circ. Usamos que 190^\circ=180^\circ+10^\circ, então
\cos190^\circ=-\cos10^\circ,\qquad \sin190^\circ=-\sin10^\circ.
Valores aproximados (para usar na prova, memorize ou calcule com tabela/calculadora): \cos10^\circ\approx0,98480775 e \sin10^\circ\approx0,17364818. Logo
\cos190^\circ\approx-0,98480775,\qquad \sin190^\circ\approx-0,17364818.
  • Multiplicando pela magnitude 60:
\Re\{\hat{I}\}=60\cos190^\circ\approx60\cdot(-0,98480775)=-59,0885\\ \text{mA},
\Im\{\hat{I}\}=60\sin190^\circ\approx60\cdot(-0,17364818)=-10,4189\\ \text{mA}.
Arredondando para duas casas decimais (prática comum em provas):
\hat{I}\approx-59,09 - j\,10,42\\ \text{mA}.

Passo 6

Fasor RMS — calcular magnitude RMS e dar formas polar e retangular.
  • Magnitude RMS:
I_{\text{rms}}=\frac{60}{\sqrt{2}}\approx\frac{60}{1,41421356}\approx42,4264\\ \text{mA}.
  • Fasor RMS em polar:
I_{\text{rms}}=42,4264\angle190^\circ\\ \text{mA}.
  • Converter para retangular (mesma fase, multiplicamos por \cos190^\circ e j\sin190^\circ):
\Re\{I_{\text{rms}}\}=42,4264\cos190^\circ\approx42,4264\cdot(-0,98480775)=-41,7681\\ \text{mA},
\Im\{I_{\text{rms}}\}=42,4264\sin190^\circ\approx42,4264\cdot(-0,17364818)=-7,3643\\ \text{mA}.
Arredondando para duas casas:
I_{\text{rms}}\approx-41,77 - j\,7,36\\ \text{mA}.

Resposta

\hat{I} (fasor de pico, polar) = 60\angle190^\circ\\ \mathrm{mA}
\hat{I} (fasor de pico, retangular) = -59,09 - j\,10,42\\ \mathrm{mA}
I_{\text{rms}} (fasor RMS, polar) = 42,43\angle190^\circ\\ \mathrm{mA}
I_{\text{rms}} (fasor RMS, retangular) = -41,77 - j\,7,36\\ \mathrm{mA}

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