Determine um fator integrante apropriado para cada equação:
(5.42) y d x+(1-x) d y=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar um fator integrante apropriado para a equação diferencial
y\,dx+(1-x)\,dy=0.
Informações dadas que vamos usar:
M(x,y)=y\quad\text{(coeficiente de }dx\text{)},\qquad N(x,y)=1-x\quad\text{(coeficiente de }dy\text{)}.
A tarefa é encontrar uma função multiplicativa \mu (fator integrante) tal que a equação multiplicada por \mu se torne exata. Não é preciso perguntar nada; vou trabalhar com essas duas funções M e N.

Passo 2

Primeiro verifiquemos se a equação já é exata: calcule as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y)=1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(1-x)=-1.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}\neq\frac{\partial N}{\partial x},
a equação não é exata. Precisamos, então, encontrar um fator integrante \mu que dependa de x ou de y (ou de ambas) e torne a equação exata.

Passo 3

Vou explicar a ideia e a fórmula para achar um fator integrante que dependa só de x. Suponha que exista \mu=\mu(x). A equação multiplicada por \mu(x) é
\mu(x)M(x,y)\,dx+\mu(x)N(x,y)\,dy=0.
Para que isso seja exato, precisamos de
\frac{\partial}{\partial y}\big(\mu M\big)=\frac{\partial}{\partial x}\big(\mu N\big).
Como \mu depende só de x, essa igualdade se transforma em
\mu\frac{\partial M}{\partial y}=\mu'\,N+\mu\frac{\partial N}{\partial x},
onde \mu'=\dfrac{d\mu}{dx}. Dividindo por \mu obtemos
\frac{\mu'}{\mu}=\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}.
O lado direito deve depender apenas de x para que a equação determine \mu(x). Então o procedimento é: calcular o quociente \dfrac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}, ver se depende só de x, e integrar.

Passo 4

Calculemos o quociente do passo anterior usando nossos M e N:
\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=1-(-1)=2, \qquad N=1-x.
Portanto
\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}=\frac{2}{1-x},
que depende apenas de x. Assim existe um fator integrante \mu=\mu(x) e ele satisfaz
\frac{d}{dx}\big(\ln\mu\big)=\frac{2}{1-x}.
Integramos:
\ln\mu=\int \frac{2}{1-x}\,dx.
Fazendo a integral (troca de sinal natural),
\ln\mu=-2\ln|1-x|+C,
logo
\mu(x)=C(1-x)^{-2}.
Podemos escolher a constante multiplicativa C=1. Um fator integrante conveniente é
\mu(x)=(1-x)^{-2}.

Passo 5

Verificação rápida (para ganhar confiança): multiplicando a equação original por \mu(x)=(1-x)^{-2} obtemos
M_1(x,y)=\frac{y}{(1-x)^{2}},\qquad N_1(x,y)=\frac{1-x}{(1-x)^{2}}=\frac{1}{1-x}.
Agora
\frac{\partial M_1}{\partial y}=\frac{1}{(1-x)^{2}},\qquad \frac{\partial N_1}{\partial x}=\frac{d}{dx}\big((1-x)^{-1}\big)=(1-x)^{-2},
logo \partial M_1/\partial y=\partial N_1/\partial x e a equação ficou exata. Perfeito.

Passo 6

Agora mostro a alternativa: procurar um fator integrante que dependa só de y. A fórmula análoga (obtida do mesmo procedimento) é
\frac{d}{dy}\big(\ln\mu\big)=\frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M},
quando \mu=\mu(y). Calculando o quociente:
\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}=-1-1=-2, \qquad M=y,
então
\frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M}=\frac{-2}{y},
que depende só de y. Logo existe \mu=\mu(y) com
\frac{d}{dy}\big(\ln\mu\big)=-\frac{2}{y}.
Integrando:
\ln\mu=-2\ln|y|+C,
portanto
\mu(y)=C\,y^{-2}.
Tomando C=1, um fator integrante conveniente é
\mu(y)=y^{-2}.

Passo 7

Verificação com \mu(y)=y^{-2}: multiplicando a equação original por y^{-2} obtemos
M_2(x,y)=\frac{y}{y^{2}}=\frac{1}{y},\qquad N_2(x,y)=\frac{1-x}{y^{2}}.
Então
\frac{\partial M_2}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{-1}\big)=-y^{-2}, \qquad \frac{\partial N_2}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big((1-x)y^{-2}\big)=-y^{-2},
logo \partial M_2/\partial y=\partial N_2/\partial x e também ficou exata. Funciona.

Resposta

\mu(x)=(1-x)^{-2}
\mu(y)=y^{-2}

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