Determine um fator integrante apropriado para cada equação:
(5.42) y d x+(1-x) d y=0
(5.42) y d x+(1-x) d y=0
Passo 1
O enunciado pede: determinar um fator integrante apropriado para a equação diferencial
Informações dadas que vamos usar:
A tarefa é encontrar uma função multiplicativa
(fator integrante) tal que a equação multiplicada por
se torne exata. Não é preciso perguntar nada; vou trabalhar com essas duas funções
e
.
Passo 2
Primeiro verifiquemos se a equação já é exata: calcule as derivadas parciais
Como
a equação não é exata. Precisamos, então, encontrar um fator integrante
que dependa de
ou de
(ou de ambas) e torne a equação exata.
Passo 3
Vou explicar a ideia e a fórmula para achar um fator integrante que dependa só de
. Suponha que exista
. A equação multiplicada por
é
Para que isso seja exato, precisamos de
Como
depende só de
, essa igualdade se transforma em
onde
. Dividindo por
obtemos
O lado direito deve depender apenas de
para que a equação determine
. Então o procedimento é: calcular o quociente
, ver se depende só de
, e integrar.
Passo 4
Calculemos o quociente do passo anterior usando nossos
e
:
Portanto
que depende apenas de
. Assim existe um fator integrante
e ele satisfaz
Integramos:
Fazendo a integral (troca de sinal natural),
logo
Podemos escolher a constante multiplicativa
. Um fator integrante conveniente é
Passo 5
Verificação rápida (para ganhar confiança): multiplicando a equação original por
obtemos
Agora
logo
e a equação ficou exata. Perfeito.
Passo 6
Agora mostro a alternativa: procurar um fator integrante que dependa só de
. A fórmula análoga (obtida do mesmo procedimento) é
quando
. Calculando o quociente:
então
que depende só de
. Logo existe
com
Integrando:
portanto
Tomando
, um fator integrante conveniente é
Passo 7
Verificação com
: multiplicando a equação original por
obtemos
Então
logo
e também ficou exata. Funciona.