Determine um fator integrante apropriado para cada equação:
(5.47) d x-2 x y d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
dx - 2 x y\, dy = 0
e pede para determinar um fator integrante apropriado. Informações dadas que vamos usar: podemos escrever a equação na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com M(x,y)=1 e N(x,y)=-2xy. A equação pode não ser exata inicialmente, então precisamos achar um fator integrante \mu (que pode depender só de x ou só de y) que torne o novo 1-forma \mu M\,dx + \mu N\,dy exato.

Passo 2

Primeiro verificamos se a equação já é exata, calculando as derivadas parciais relevantes:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(1)=0, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-2xy)=-2y.
Como \frac{\partial M}{\partial y}\neq\frac{\partial N}{\partial x} (pois 0\neq -2y em geral), a equação não é exata, então precisamos de um fator integrante.

Passo 3

Vou te ensinar um método prático que se usa frequentemente na prova: tentar um fator integrante que dependa só de x, digamos \mu=\mu(x), ou só de y, \mu=\mu(y). Há um teste simples para saber qual tentar.
Se \mu=\mu(x) então a condição de exatidão para \mu M\,dx+\mu N\,dy dá, após derivar e dividir por \mu,
\frac{M_y-N_x}{N}=\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}.
O lado esquerdo depende só de x se e somente se existe \mu(x). Nesse caso \mu'(x)/\mu(x) é a derivada de \ln\mu, então
\ln\mu(x)=\int \frac{M_y-N_x}{N}\,dx.
Analogamente, para \mu=\mu(y) usa-se a razão (N_x-M_y)/M e integra em y. Essa é a fórmula que vamos aplicar aqui.

Passo 4

Aplicamos a fórmula com M e N dados. Calculamos a razão
\frac{M_y-N_x}{N}=\frac{0-(-2y)}{-2xy}=\frac{2y}{-2xy}=-\frac{1}{x}.
Observe que esse resultado depende apenas de x (não depende de y). Isso indica que existe um fator integrante que depende só de x.

Passo 5

Agora obtemos \mu(x) integrando a razão:
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=-\frac{1}{x}
que implica
\ln\mu(x)=\int -\frac{1}{x}\,dx = -\ln|x| + C.
Exponentiando, \mu(x)=C\,|x|^{-1}. Para propósito de fator integrante podemos escolher a constante multiplicativa C=1 e tirar o valor absoluto conforme o domínio, então uma escolha simples é
\mu(x)=\frac{1}{x},
válida para x\neq 0.

Passo 6

(Faço rápido para mostrar que o fator funciona e como usá-lo na prova.) Multiplicando a equação original por \mu(x)=1/x obtemos
\frac{1}{x}\,dx - 2y\,dy = 0.
Agora M^*(x,y)=\dfrac{1}{x} e N^*(x,y)=-2y satisfazem
\frac{\partial M^*}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial N^*}{\partial x}=0,
logo a forma é exata. Podemos então integrar:
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\frac{1}{x}\Rightarrow \Phi(x,y)=\ln|x| + h(y).
Como \frac{\partial \Phi}{\partial y}=h'(y) deve igualar N^*(x,y)=-2y, temos h'(y)=-2y e assim h(y)=-y^2. A solução implícita é
\ln|x| - y^2 = C.
Isso confirma que \mu(x)=1/x é um fator integrante adequado.

Resposta

\mu(x)=\dfrac{1}{x}

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