Determine um fator integrante apropriado para cada equação:
(5.47) d x-2 x y d y=0
(5.47) d x-2 x y d y=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para determinar um fator integrante apropriado. Informações dadas que vamos usar: podemos escrever a equação na forma
com
e
. A equação pode não ser exata inicialmente, então precisamos achar um fator integrante
(que pode depender só de
ou só de
) que torne o novo 1-forma
exato.
Passo 2
Primeiro verificamos se a equação já é exata, calculando as derivadas parciais relevantes:
Como
(pois
em geral), a equação não é exata, então precisamos de um fator integrante.
Passo 3
Vou te ensinar um método prático que se usa frequentemente na prova: tentar um fator integrante que dependa só de
, digamos
, ou só de
,
. Há um teste simples para saber qual tentar.
Se
então a condição de exatidão para
dá, após derivar e dividir por
,
O lado esquerdo depende só de
se e somente se existe
. Nesse caso
é a derivada de
, então
Analogamente, para
usa-se a razão
e integra em
. Essa é a fórmula que vamos aplicar aqui.
Passo 4
Aplicamos a fórmula com
e
dados. Calculamos a razão
Observe que esse resultado depende apenas de
(não depende de
). Isso indica que existe um fator integrante que depende só de
.
Passo 5
Agora obtemos
integrando a razão:
que implica
Exponentiando,
. Para propósito de fator integrante podemos escolher a constante multiplicativa
e tirar o valor absoluto conforme o domínio, então uma escolha simples é
válida para
.
Passo 6
(Faço rápido para mostrar que o fator funciona e como usá-lo na prova.) Multiplicando a equação original por
obtemos
Agora
e
satisfazem
logo a forma é exata. Podemos então integrar:
Como
deve igualar
, temos
e assim
. A solução implícita é
Isso confirma que
é um fator integrante adequado.