Determine um fator integrante apropriado para cada equação:
(5.49) y d x+3 x d y=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar um fator integrante apropriado para a equação diferencial
y\,dx + 3x\,dy = 0.
Informações dadas (explicitadas para a gente não se perder):
M(x,y)=y,\qquad N(x,y)=3x,
e a equação está na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.
O pedido é encontrar um fator integrante \mu (dependendo de x ou de y ou de ambos) que torne a equação exata.

Passo 2

Revisando a ideia (passo-a-passo, sem pular etapas): uma equação M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Vamos calcular essas derivadas parciais para a nossa equação:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y)=1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(3x)=3.
Como 1\neq3, a equação não é exata. Então precisamos de um fator integrante \mu tal que a nova equação \mu M\,dx+\mu N\,dy=0 seja exata.

Passo 3

Estratégia prática: há fórmulas simples para fatores integrantes que dependem só de x ou só de y.
  • Se \displaystyle \frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N} for função só de x, então existe um fator integrante \mu(x) dado por
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N}\,dx\right).
  • Se \displaystyle \frac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M} for função só de y, então existe um fator integrante \mu(y) dado por
\mu(y)=\exp\!\left(\int \frac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M}\,dy\right).
Vou aplicar essas duas verificações porque às vezes ambas dão um fator integrante e fica legal escolher o mais simples.

Passo 4

Verificação para fator que depende só de x.
Calculemos
\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N}=\frac{1-3}{3x}=\frac{-2}{3x}.
Isto é função só de x, logo podemos tomar
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{-2}{3x}\,dx\right).
Agora integramos passo a passo:
\int \frac{-2}{3x}\,dx = -\frac{2}{3}\int \frac{1}{x}\,dx = -\frac{2}{3}\ln|x|.
Portanto
\mu(x)=\exp\!\big(-\tfrac{2}{3}\ln|x|\big)=|x|^{-2/3}.
Normalmente, em provas, podemos escolher a versão sem o valor absoluto (fixando domínio) e escrever simplesmente
\mu(x)=x^{-2/3}.

Passo 5

Verificação para fator que depende só de y.
Calculemos
\frac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M}=\frac{3-1}{y}=\frac{2}{y}.
Isto é função só de y, logo
\mu(y)=\exp\!\left(\int \frac{2}{y}\,dy\right).
Integramos:
\int \frac{2}{y}\,dy = 2\ln|y|.
Logo
\mu(y)=\exp(2\ln|y|)=|y|^{2}.
Novamente, escolhendo convenções de domínio, escrevemos de forma simples
\mu(y)=y^{2}.

Passo 6

Vamos fazer uma rápida checagem que os fatores encontrados realmente tornam a equação exata (mostrando o cálculo, passo-a-passo, para você poder repetir na prova).
  • Com \mu(y)=y^{2}: multiplicando a equação original por y^{2} obtemos
M^*(x,y)=y^3,\qquad N^*(x,y)=3x y^2.
Agora
\frac{\partial M^*}{\partial y}=3y^2,\qquad \frac{\partial N^*}{\partial x}=3y^2,
portanto iguais e a equação é exata.
  • Com \mu(x)=x^{-2/3}: multiplicando a equação original por x^{-2/3} obtemos
M^*(x,y)=y\,x^{-2/3},\qquad N^*(x,y)=3x^{1/3}.
Agora
\frac{\partial M^*}{\partial y}=x^{-2/3},\qquad \frac{\partial N^*}{\partial x}=3\cdot\frac{1}{3}x^{-2/3}=x^{-2/3},
também iguais, logo exata. Ambas são corretas; \mu(y)=y^2 costuma ser mais simples de usar.

Resposta

\mu(y)=y^{2}
\mu(x)=x^{-2/3}

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