Determine um fator integrante apropriado para cada equação:
(5.49) y d x+3 x d y=0
(5.49) y d x+3 x d y=0
Passo 1
O enunciado pede: determinar um fator integrante apropriado para a equação diferencial
Informações dadas (explicitadas para a gente não se perder):
e a equação está na forma
.
O pedido é encontrar um fator integrante (dependendo de
ou de
ou de ambos) que torne a equação exata.
O pedido é encontrar um fator integrante
Passo 2
Revisando a ideia (passo-a-passo, sem pular etapas): uma equação
é exata se
Vamos calcular essas derivadas parciais para a nossa equação:
Como
, a equação não é exata. Então precisamos de um fator integrante
tal que a nova equação
seja exata.
Passo 3
Estratégia prática: há fórmulas simples para fatores integrantes que dependem só de
ou só de
.
- Se
for função só de , então existe um fator integrante dado por
- Se
for função só de , então existe um fator integrante dado por
Vou aplicar essas duas verificações porque às vezes ambas dão um fator integrante e fica legal escolher o mais simples.
Passo 4
Verificação para fator que depende só de
.
Calculemos
Isto é função só de
, logo podemos tomar
Agora integramos passo a passo:
Portanto
Normalmente, em provas, podemos escolher a versão sem o valor absoluto (fixando domínio) e escrever simplesmente
Passo 5
Verificação para fator que depende só de
.
Calculemos
Isto é função só de
, logo
Integramos:
Logo
Novamente, escolhendo convenções de domínio, escrevemos de forma simples
Passo 6
Vamos fazer uma rápida checagem que os fatores encontrados realmente tornam a equação exata (mostrando o cálculo, passo-a-passo, para você poder repetir na prova).
- Com
: multiplicando a equação original por obtemos
Agora
portanto iguais e a equação é exata.
- Com
: multiplicando a equação original por obtemos
Agora
também iguais, logo exata. Ambas são corretas;
costuma ser mais simples de usar.