Determine um fator integrante apropriado para cada equação:
(5.48) 2 x y d x+y^{2} d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
2 x y\,dx + y^{2}\,dy = 0
e pede para determinar um fator integrante apropriado.
Informações fornecidas e objetivo claro:
  • A equação pode ser escrita na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 com M(x,y)=2xy e N(x,y)=y^{2}.
  • Queremos encontrar um fator integrante \mu (dependendo apenas de x ou apenas de y, por exemplo) que torne a equação exata.

Passo 2

Verificamos se a equação já é exata. Para isso calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(y^{2})=0
Como \frac{\partial M}{\partial y}\neq\frac{\partial N}{\partial x}, a equação não é exata no estado atual.

Passo 3

Vamos testar se existe um fator integrante que dependa somente de x. A condição prática é que
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}
seja função apenas de x. Calculamos:
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=\frac{2x-0}{y^{2}}=\frac{2x}{y^{2}}.
Essa expressão depende de y, portanto não é função somente de x. Logo não há fator integrante do tipo \mu(x).

Passo 4

Agora testamos se existe um fator integrante que dependa somente de y. A condição prática é que
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}
seja função apenas de y. Calculamos:
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}=\frac{0-2x}{2xy}=-\frac{1}{y},
que é de fato função somente de y. Portanto existe um fator integrante \mu(y).

Passo 5

Obtemos \mu(y) integrando a função obtida:
\mu(y)=\exp\!\left(\int -\frac{1}{y}\,dy\right)=\exp(-\ln|y|)=\frac{1}{|y|}.
Para simplificar a constante de sinal pode ser absorvida na constante de integração da solução, então podemos escolher convenientemente
\mu(y)=\frac{1}{y}.

Passo 6

Mostro rapidamente como a \mu(y)=\dfrac{1}{y} funciona: multiplicando a equação original por \dfrac{1}{y} obtemos
2x\,dx + y\,dy = 0.
Essa nova equação é exata, pois aqui M^{*}(x,y)=2x e N^{*}(x,y)=y satisfazem
\frac{\partial M^{*}}{\partial y}=0=\frac{\partial N^{*}}{\partial x}.
Se você quiser resolver até a solução implícita, integra-se M^{*} em x: \int 2x\,dx = x^{2} + h(y), e determinamos h'(y)=y dando h(y)=\dfrac{y^{2}}{2}. Assim a solução implícita é x^{2}+\dfrac{y^{2}}{2}=C. (Isso é só para ver que o fator integrante funcionou.)

Resposta

\mu(y)=\dfrac{1}{y}

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