Determine um fator integrante apropriado para cada equação:
(5.48) 2 x y d x+y^{2} d y=0
(5.48) 2 x y d x+y^{2} d y=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para determinar um fator integrante apropriado.
Informações fornecidas e objetivo claro:
Informações fornecidas e objetivo claro:
- A equação pode ser escrita na forma
com e . - Queremos encontrar um fator integrante
(dependendo apenas de ou apenas de , por exemplo) que torne a equação exata.
Passo 2
Verificamos se a equação já é exata. Para isso calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata no estado atual.
Passo 3
Vamos testar se existe um fator integrante que dependa somente de
. A condição prática é que
seja função apenas de
. Calculamos:
Essa expressão depende de
, portanto não é função somente de
. Logo não há fator integrante do tipo
.
Passo 4
Agora testamos se existe um fator integrante que dependa somente de
. A condição prática é que
seja função apenas de
. Calculamos:
que é de fato função somente de
. Portanto existe um fator integrante
.
Passo 5
Obtemos
integrando a função obtida:
Para simplificar a constante de sinal pode ser absorvida na constante de integração da solução, então podemos escolher convenientemente
Passo 6
Mostro rapidamente como a
funciona: multiplicando a equação original por
obtemos
Essa nova equação é exata, pois aqui
e
satisfazem
Se você quiser resolver até a solução implícita, integra-se
em
:
, e determinamos
dando
. Assim a solução implícita é
. (Isso é só para ver que o fator integrante funcionou.)