Determine um fator integrante apropriado para cada equação:
(5.50) (2 x y{2}+\frac{x}{y{2}}) d x+4 x^{2} y d y=0
(5.50) (2 x y{2}+\frac{x}{y{2}}) d x+4 x^{2} y d y=0
Passo 1
O enunciado pede: determinar um fator integrante apropriado para a equação diferencial
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
A tarefa é encontrar um fator integrante
(função de
ou de
ou de alguma combinação simples) que torne a forma
exata.
Passo 2
Lembrete didático rápido sobre exatidão e fator integrante:
Uma forma é exata se vale
Uma forma
Se não for exata, procuramos um fator integrante
ou
. Há dois testes úteis:
- Se
depende só de , então existe . - Se
depende só de , então existe .
Vou aplicar esses testes passo a passo.
Passo 3
Calcule as derivadas parciais necessárias (mostrando cada termo):
Verificamos então que não são iguais, logo a forma original não é exata:
Passo 4
Teste para fator integrante que dependa só de
. Calcule
Simplificando numerador e denominador (fatorando
e cancelando quando possível):
Cancelando
e reescrevendo:
Coloco ambos com fator comum
:
Logo a razão simplifica para
que depende apenas de
. Isso significa que existe um fator integrante que é função somente de
.
Passo 5
Encontramos
usando a fórmula
Integramos:
Exponenciando e absorvendo constante multiplicativa,