Determine um fator integrante apropriado para cada equação:
(5.50) (2 x y{2}+\frac{x}{y{2}}) d x+4 x^{2} y d y=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar um fator integrante apropriado para a equação diferencial
(2 x y^{2}+\frac{x}{y^{2}})\,dx+4 x^{2} y\,dy=0.
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
M(x,y)=2x y^{2}+x y^{-2},\qquad N(x,y)=4x^{2}y.
A tarefa é encontrar um fator integrante \mu (função de x ou de y ou de alguma combinação simples) que torne a forma \mu M\,dx+\mu N\,dy exata.

Passo 2

Lembrete didático rápido sobre exatidão e fator integrante:
Uma forma M\,dx+N\,dy é exata se vale
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Se não for exata, procuramos um fator integrante \mu(x) ou \mu(y). Há dois testes úteis:
  • Se \dfrac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N} depende só de x, então existe \mu(x)=\exp\big(\int \text{essa função}\,dx\big)çã.
  • Se \dfrac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M} depende só de y, então existe \mu(y)=\exp\big(\int \text{essa função}\,dy\big)çã.
Vou aplicar esses testes passo a passo.

Passo 3

Calcule as derivadas parciais necessárias (mostrando cada termo):
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(2x y^{2}+x y^{-2}\big) =2x\cdot 2y + x\cdot(-2)y^{-3}=4xy-2x y^{-3}.
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(4x^{2}y\big)=8xy.
Verificamos então que não são iguais, logo a forma original não é exata:
\frac{\partial M}{\partial y}=4xy-2x y^{-3}\neq 8xy=\frac{\partial N}{\partial x}.

Passo 4

Teste para fator integrante que dependa só de y. Calcule
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} =\frac{8xy-(4xy-2x y^{-3})}{2x y^{2}+x y^{-2}}.
Simplificando numerador e denominador (fatorando x e cancelando quando possível):
\text{numerador}=8xy-4xy+2x y^{-3}=4xy+2x y^{-3}=2x(2y+y^{-3}),
\text{denominador}=x(2y^{2}+y^{-2}).
Cancelando x e reescrevendo:
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} =\frac{2(2y+y^{-3})}{2y^{2}+y^{-2}}.
Coloco ambos com fator comum y^{-2}:
2y+y^{-3}=y^{-3}(2y^{4}+1),\qquad 2y^{2}+y^{-2}=y^{-2}(2y^{4}+1).
Logo a razão simplifica para
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} =2y^{-1}=\frac{2}{y},
que depende apenas de y. Isso significa que existe um fator integrante que é função somente de y.

Passo 5

Encontramos \mu(y) usando a fórmula
\frac{d}{dy}\big(\ln \mu(y)\big)=\frac{2}{y}.
Integramos:
\ln \mu(y)=\int \frac{2}{y}\,dy=2\ln y+\text{const}.
Exponenciando e absorvendo constante multiplicativa,
\mu(y)=e^{2\ln y}=y^{2}\quad(\text{escolhemos a forma mais simples } \mu(y)=y^{2}).

Resposta

\mu(y)=y^{2}

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