Determine um fator integrante apropriado para cada equação:
(5.52) x y^{2} d x+x^{2} y d y=0
(5.52) x y^{2} d x+x^{2} y d y=0
Passo 1
O enunciado pede: “Determine um fator integrante apropriado” para a equação
Dados relevantes extraídos do enunciado:
- A equação diferencial está dada na forma
. - Aqui
e . - A tarefa é encontrar um fator integrante
tal que seja exata.
Passo 2
Vou explicar o que é um fator integrante e como verificar exatidão — passo a passo, devagarinho.
- Uma equação
é exata se existir uma função potencial tal que
- Uma condição prática para exatidão (quando
e têm derivações parciais contínuas) é
- Se essa igualdade vale, então a equação já é exata e
é um fator integrante adequado (ou seja, não precisamos multiplicar por nada). - Se a igualdade não valesse, buscaríamos
dependendo só de ou só de usando fórmulas específicas, ou outras estratégias. Aqui primeiro testamos a condição de exatidão.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais mencionadas. Primeiro, escrevemos novamente
e
:
Agora a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Comparando, obtemos
Portanto a condição de exatidão é satisfeita: a equação dada já é exata.
Passo 5
Conclusão sobre o fator integrante: como a equação já é exata, um fator integrante apropriado é
(Aqui não é necessário procurar
que dependa apenas de
ou apenas de
; multiplicar por 1 já produz uma equação exata.)
Passo 6
Para consolidar o aprendizado, mostro rapidamente como resolver a equação exata (opcional, mas útil na prova).
Procuramos tal que
. Integramos
em relação a
:
Procuramos
onde
é função de
só. Agora impondo
:
Logo
, então
é constante. Assim a função potencial é
e a solução implícita da equação diferencial é