Determine um fator integrante apropriado para cada equação:
(5.52) x y^{2} d x+x^{2} y d y=0

Passo 1

O enunciado pede: “Determine um fator integrante apropriado” para a equação
x y^{2}\,dx + x^{2} y\,dy = 0.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • A equação diferencial está dada na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.
  • Aqui \;M(x,y)=x y^{2}\; e \;N(x,y)=x^{2} y\;.
  • A tarefa é encontrar um fator integrante \mu(x,y) tal que \mu M\,dx+\mu N\,dy seja exata.

Passo 2

Vou explicar o que é um fator integrante e como verificar exatidão — passo a passo, devagarinho.
  • Uma equação M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 é exata se existir uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M\quad\text{e}\quad\frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.
  • Uma condição prática para exatidão (quando M e N têm derivações parciais contínuas) é
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
  • Se essa igualdade vale, então a equação já é exata e \mu(x,y)=1 é um fator integrante adequado (ou seja, não precisamos multiplicar por nada).
  • Se a igualdade não valesse, buscaríamos \mu dependendo só de x ou só de y usando fórmulas específicas, ou outras estratégias. Aqui primeiro testamos a condição de exatidão.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais mencionadas. Primeiro, escrevemos novamente M e N:
M(x,y)=x y^{2},\qquad N(x,y)=x^{2} y.
Agora a derivada parcial de M em relação a y:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x y^{2}\big)=2x y.
E a derivada parcial de N em relação a x:
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2} y\big)=2x y.

Passo 4

Comparando, obtemos
\frac{\partial M}{\partial y}=2x y=\frac{\partial N}{\partial x}.
Portanto a condição de exatidão é satisfeita: a equação dada já é exata.

Passo 5

Conclusão sobre o fator integrante: como a equação já é exata, um fator integrante apropriado é
\mu(x,y)=1.
(Aqui não é necessário procurar \mu que dependa apenas de x ou apenas de y; multiplicar por 1 já produz uma equação exata.)

Passo 6

Para consolidar o aprendizado, mostro rapidamente como resolver a equação exata (opcional, mas útil na prova).
Procuramos \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M. Integramos M em relação a x:
\Phi(x,y)=\int x y^{2}\,dx = \frac{1}{2}x^{2}y^{2} + h(y),
onde h(y) é função de y só. Agora impondo \Phi_y=N:
\frac{\partial}{\partial y}\Big(\frac{1}{2}x^{2}y^{2}+h(y)\Big)=x^{2}y + h'(y) \stackrel{!}{=} x^{2}y.
Logo h'(y)=0, então h(y) é constante. Assim a função potencial é
\Phi(x,y)=\frac{1}{2}x^{2}y^{2} + C,
e a solução implícita da equação diferencial é
\frac{1}{2}x^{2}y^{2}= \text{constante}.

Resposta

\mu(x,y)=1

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