Determine um fator integrante apropriado para cada equação:
(5.53) (y+x^{3}+x y^{2}) d x-x d y=0
(5.53) (y+x^{3}+x y^{2}) d x-x d y=0
Passo 1
Enunciado: a equação diferencial é
Informações dadas: a equação está na forma
com
O que se pede: determinar um fator integrante apropriado que torne a forma diferencial exata.
Passo 2
Verificamos se a equação já é exata calculando as derivadas parciais:
Como
(especificamente
), a forma não é exata — precisamos de um fator integrante.
Passo 3
Uma pista: escrevendo a equação na forma de derivada ordinária,
vemos termos em
e
que sugerem a substituição de escala
(ou seja, procurar uma variável
com
). Vou explicar a razão: essa substituição transforma a dependência em termos de
e frequentemente reduz a equação a uma forma separável ou mais simples.
Passo 4
Faço a substituição
. Então
Substituindo na equação diferencial obtida em Passo 3:
Cancelando
em ambos os lados fica
Dividindo por
(assumindo
):
Passo 5
A equação em
e
é separável. Separe e integre:
Integrando ambos os lados:
Voltando a
com
:
ou implicitamente
Passo 6
Agora construo o diferencial exato associado a
. Calculo
detalhadamente.
Primeiro, derive
em relação a
e
. Se
, então
. Usando
:
Simplificando (multiplicando numerador e denominador por
):
Análogo para
:
Agora
Portanto
Passo 7
Compare
com a forma original
. Multiplicando
por
:
Simplificando os termos:
que é exatamente a forma original
.
Passo 8
Do cálculo anterior vemos que
Logo, se multiplicarmos
por
obtemos
que é uma forma exata (pois é o diferencial de
). O sinal não importa para a exatidão:
é tão exato quanto
. Portanto
é um fator integrante válido.