Determine um fator integrante apropriado para cada equação:
(5.53) (y+x^{3}+x y^{2}) d x-x d y=0

Passo 1

Enunciado: a equação diferencial é
(y+x^{3}+x y^{2})\,dx - x\,dy = 0.
Informações dadas: a equação está na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 com
M(x,y)=y+x^{3}+x y^{2},\qquad N(x,y)=-x.
O que se pede: determinar um fator integrante apropriado que torne a forma diferencial exata.

Passo 2

Verificamos se a equação já é exata calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=1+2xy, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=-1.
Como \frac{\partial M}{\partial y}\neq\frac{\partial N}{\partial x} (especificamente 1+2xy\neq-1), a forma não é exata — precisamos de um fator integrante.

Passo 3

Uma pista: escrevendo a equação na forma de derivada ordinária,
\frac{dy}{dx}=\frac{y+x^{3}+x y^{2}}{x}= \frac{y}{x}+x^{2}+y^{2},
vemos termos em \frac{y}{x} e y^{2} que sugerem a substituição de escala y=xu (ou seja, procurar uma variável u com u=y/x). Vou explicar a razão: essa substituição transforma a dependência em termos de y/x e frequentemente reduz a equação a uma forma separável ou mais simples.

Passo 4

Faço a substituição y=xu. Então
\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}.
Substituindo na equação diferencial obtida em Passo 3:
u+x\frac{du}{dx}= \frac{y}{x}+x^{2}+y^{2} = u + x^{2} + x^{2}u^{2}.
Cancelando u em ambos os lados fica
x\frac{du}{dx}=x^{2}(1+u^{2}).
Dividindo por x (assumindo x\neq0):
\frac{du}{dx}=x(1+u^{2}).

Passo 5

A equação em u e x é separável. Separe e integre:
\frac{du}{1+u^{2}}=x\,dx.
Integrando ambos os lados:
\arctan(u)=\frac{x^{2}}{2}+C.
Voltando a y com u=y/x:
\arctan\!\bigg(\frac{y}{x}\bigg)=\frac{x^{2}}{2}+C,
ou implicitamente
\Phi(x,y)\equiv \arctan\!\bigg(\frac{y}{x}\bigg)-\frac{x^{2}}{2}=C.

Passo 6

Agora construo o diferencial exato associado a \Phi. Calculo d\Phi detalhadamente.
Primeiro, derive \arctan(y/x) em relação a x e y. Se v=y/x, então \partial(\arctan v)/\partial v=1/(1+v^{2}). Usando v=y/x:
\frac{\partial}{\partial x}\arctan\!\bigg(\frac{y}{x}\bigg) = \frac{1}{1+(y/x)^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{1+\frac{y^{2}}{x^{2}}}\cdot\left(-\frac{y}{x^{2}}\right).
Simplificando (multiplicando numerador e denominador por x^{2}):
\frac{\partial}{\partial x}\arctan\!\bigg(\frac{y}{x}\bigg) = -\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.
Análogo para y:
\frac{\partial}{\partial y}\arctan\!\bigg(\frac{y}{x}\bigg) = \frac{1}{1+(y/x)^{2}}\cdot\frac{1}{x} = \frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Agora
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}-x, \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Portanto
d\Phi=\Big(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}-x\Big)\,dx+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dy.

Passo 7

Compare d\Phi com a forma original \omega=(y+x^{3}+x y^{2})\,dx - x\,dy. Multiplicando d\Phi por -(x^{2}+y^{2}):
-(x^{2}+y^{2})\,d\Phi = -(x^{2}+y^{2})\Big(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}-x\Big)\,dx \;-\;(x^{2}+y^{2})\Big(-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\Big)\,dy.
Simplificando os termos:
-(x^{2}+y^{2})\,d\Phi = \big(y+x^{3}+x y^{2}\big)\,dx - x\,dy,
que é exatamente a forma original \omega.

Passo 8

Do cálculo anterior vemos que
\omega=-(x^{2}+y^{2})\,d\Phi.
Logo, se multiplicarmos \omega por
\mu(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}
obtemos
\mu\,\omega = -\,d\Phi,
que é uma forma exata (pois é o diferencial de -\Phi). O sinal não importa para a exatidão: -d\Phi é tão exato quanto d\Phi. Portanto \mu(x,y)=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}} é um fator integrante válido.

Resposta

\displaystyle \mu(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}

Exercícios relacionados