determine um fator integrante apropriado para cada equação diferencial e resolva.
\left(2 r v^{2}+x\right) d x+4 x^{2} v d v=0
\left(2 r v^{2}+x\right) d x+4 x^{2} v d v=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede: encontrar um fator integrante apropriado e resolver a equação.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- Variáveis independentes da equação são
e . -
aparece no enunciado e trataremos como uma constante conhecida (parâmetro). - Podemos escrever a equação na forma padrão
com
O objetivo imediato: encontrar um fator integrante
(possivelmente função de
ou de
) que torne a equação exata, e então integrar para obter a solução geral.
Passo 2
Verificar se a equação já é exata. Lembrando: uma equação
é exata se e somente se
Calculemos as derivadas parciais:
Como
em geral, a equação não é exata.
Passo 3
Procurar um fator integrante do tipo
(dependente só de
). Uma fórmula prática para testar isso é observar se
é função apenas de
. Se for, então existe um
dado por
Aqui, calculemos o numerador:
Agora divida por
:
Esse quociente depende apenas de
(lembre que
é constante). Logo existe um fator integrante
.
Passo 4
Calcular o fator integrante
pela fórmula:
Integramos termo a termo. Para
faça
integrado:
Para
temos
Somando,
Portanto
Como fator multiplicativo podemos tomar a versão sem valor absoluto (absorvendo sinal em constante de integração se necessário). Para praticidade usaremos
Passo 5
Multiplicar a equação original por
. Obtemos a equação equivalente exata
ou explicitamente
Simplificando cada termo:
Passo 6
Verificar a exatidão da nova equação (confirmação). Calcule as derivadas parciais:
As duas derivadas coincidem, então a equação multiplicada por
é exata, como esperado.
Passo 7
Agora vamos encontrar a função potencial
tal que
Para simplificar a integração, é mais conveniente integrar
em relação a
:
Aqui
é uma “constante” de integração que pode depender de
. Integrando em
:
pois
é constante em relação a
. Logo
Passo 8
Determinar
usando a condição
. Calcule
:
Devemos ter essa expressão igual a
. Igualando,
Cancelando o termo comum
, obtemos
Passo 9
Integrar
para obter
:
Para calcular essa integral fazemos a substituição conveniente
. Então
Agora transforme o integrando:
Como
(pois
), e
, temos
Portanto
A integral
é a função especial conhecida como função integral exponencial
. Assim
(Se não conhecia
: é uma função padrão que surge como antiderivada de
.)
Passo 10
Portanto a função potencial completa é
onde
é constante arbitrária. A condição de solução implícita da equação exata é
. Por isso a solução geral da equação diferencial é
com
constante.