determine um fator integrante apropriado para cada equação diferencial e resolva.
\left(2 r v^{2}+x\right) d x+4 x^{2} v d v=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(2 r v^{2}+x\right) d x+4 x^{2} v\, d v=0
e pede: encontrar um fator integrante apropriado e resolver a equação.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • Variáveis independentes da equação são x e v.
  • r aparece no enunciado e trataremos r como uma constante conhecida (parâmetro).
  • Podemos escrever a equação na forma padrão M(x,v)\,dx+N(x,v)\,dv=0 com
M(x,v)=2 r v^{2}+x,\qquad N(x,v)=4 x^{2} v.
O objetivo imediato: encontrar um fator integrante \mu (possivelmente função de x ou de v) que torne a equação exata, e então integrar para obter a solução geral.

Passo 2

Verificar se a equação já é exata. Lembrando: uma equação M(x,v)\,dx+N(x,v)\,dv=0 é exata se e somente se
\frac{\partial M}{\partial v}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial v}=\frac{\partial}{\partial v}\big(2 r v^{2}+x\big)=4 r v,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(4 x^{2} v\big)=8 x v.
Como 4 r v\neq 8 x v em geral, a equação não é exata.

Passo 3

Procurar um fator integrante do tipo \mu=\mu(x) (dependente só de x). Uma fórmula prática para testar isso é observar se
\frac{\frac{\partial M}{\partial v}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}
é função apenas de x. Se for, então existe um \mu(x) dado por
\mu(x)=\exp\!\Big(\int \frac{\frac{\partial M}{\partial v}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}\,dx\Big).
Aqui, calculemos o numerador:
\frac{\partial M}{\partial v}-\frac{\partial N}{\partial x}=4 r v-8 x v=4v(r-2x).
Agora divida por N=4x^{2}v:
\frac{\frac{\partial M}{\partial v}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=\frac{4v(r-2x)}{4x^{2}v}=\frac{r-2x}{x^{2}}=\frac{r}{x^{2}}-\frac{2}{x}.
Esse quociente depende apenas de x (lembre que r é constante). Logo existe um fator integrante \mu(x).

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(x) pela fórmula:
\mu(x)=\exp\!\Big(\int\Big(\frac{r}{x^{2}}-\frac{2}{x}\Big)\,dx\Big).
Integramos termo a termo. Para \int \frac{r}{x^{2}}\,dx faça x^{-2} integrado:
\int \frac{r}{x^{2}}\,dx = r\int x^{-2}\,dx = r\big(-x^{-1}\big) = -\frac{r}{x}.
Para \int -\frac{2}{x}\,dx temos
\int -\frac{2}{x}\,dx = -2\ln|x|.
Somando,
\int\Big(\frac{r}{x^{2}}-\frac{2}{x}\Big)\,dx = -\frac{r}{x}-2\ln|x|.
Portanto
\mu(x)=\exp\!\Big(-\frac{r}{x}-2\ln|x|\Big)=e^{-r/x}\,e^{-2\ln|x|}=e^{-r/x}\,|x|^{-2}.
Como fator multiplicativo podemos tomar a versão sem valor absoluto (absorvendo sinal em constante de integração se necessário). Para praticidade usaremos
\mu(x)=x^{-2}e^{-r/x}.

Passo 5

Multiplicar a equação original por \mu(x). Obtemos a equação equivalente exata
\mu(x)M(x,v)\,dx+\mu(x)N(x,v)\,dv=0,
ou explicitamente
\big(x^{-2}e^{-r/x}(2 r v^{2}+x)\big)\,dx+\big(x^{-2}e^{-r/x}4 x^{2} v\big)\,dv=0.
Simplificando cada termo:
\mu M = e^{-r/x}\Big(2 r v^{2}x^{-2}+x^{-1}\Big),\qquad \mu N = 4v e^{-r/x}.

Passo 6

Verificar a exatidão da nova equação (confirmação). Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial}{\partial v}(\mu M)=\frac{\partial}{\partial v}\Big(e^{-r/x}\big(2 r v^{2}x^{-2}+x^{-1}\big)\Big) = e^{-r/x}\cdot 4 r v x^{-2},
\frac{\partial}{\partial x}(\mu N)=\frac{\partial}{\partial x}\big(4v e^{-r/x}\big)=4v\cdot e^{-r/x}\cdot\frac{r}{x^{2}}=4 r v x^{-2} e^{-r/x}.
As duas derivadas coincidem, então a equação multiplicada por \mu é exata, como esperado.

Passo 7

Agora vamos encontrar a função potencial \Phi(x,v) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\mu M=e^{-r/x}\Big(2 r v^{2}x^{-2}+x^{-1}\Big), \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial v}=\mu N=4v e^{-r/x}.
Para simplificar a integração, é mais conveniente integrar \frac{\partial \Phi}{\partial v} em relação a v:
\Phi(x,v)=\int 4v e^{-r/x}\,dv + g(x).
Aqui g(x) é uma “constante” de integração que pode depender de x. Integrando em v:
\int 4v e^{-r/x}\,dv = 2 v^{2} e^{-r/x},
pois e^{-r/x} é constante em relação a v. Logo
\Phi(x,v)=2 v^{2} e^{-r/x}+g(x).

Passo 8

Determinar g(x) usando a condição \Phi_{x}=\mu M. Calcule \Phi_{x}:
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(2 v^{2} e^{-r/x}\big) + g'(x) =2 v^{2} e^{-r/x}\cdot\frac{r}{x^{2}} + g'(x) = e^{-r/x}\big(2 r v^{2}x^{-2}\big)+g'(x).
Devemos ter essa expressão igual a \mu M = e^{-r/x}\big(2 r v^{2}x^{-2}+x^{-1}\big). Igualando,
e^{-r/x}\big(2 r v^{2}x^{-2}\big)+g'(x) = e^{-r/x}\big(2 r v^{2}x^{-2}+x^{-1}\big).
Cancelando o termo comum e^{-r/x}2 r v^{2}x^{-2}, obtemos
g'(x)=e^{-r/x}x^{-1}.

Passo 9

Integrar g'(x) para obter g(x):
g(x)=\int x^{-1} e^{-r/x}\,dx.
Para calcular essa integral fazemos a substituição conveniente u=-\dfrac{r}{x}. Então
u=-\frac{r}{x}\quad\Rightarrow\quad x=-\frac{r}{u},\quad dx=\frac{r}{u^{2}}\,du.
Agora transforme o integrando:
x^{-1} e^{-r/x}\,dx = \frac{1}{x} e^{u}\,dx.
Como 1/x = -u/r (pois x=-r/u), e dx=\dfrac{r}{u^{2}}du, temos
\frac{1}{x} e^{u}\,dx = \Big(-\frac{u}{r}\Big)e^{u}\cdot\frac{r}{u^{2}}\,du = -\frac{e^{u}}{u}\,du.
Portanto
g(x) = -\int \frac{e^{u}}{u}\,du.
A integral \int \dfrac{e^{u}}{u}\,du é a função especial conhecida como função integral exponencial \operatorname{Ei}(u). Assim
g(x) = -\operatorname{Ei}(u)+\text{const} = -\operatorname{Ei}\!\big(-\tfrac{r}{x}\big)+\text{const}.
(Se não conhecia \operatorname{Ei}: é uma função padrão que surge como antiderivada de e^{u}/u.)

Passo 10

Portanto a função potencial completa é
\Phi(x,v)=2 v^{2} e^{-r/x} - \operatorname{Ei}\!\Big(-\frac{r}{x}\Big)+C,
onde C é constante arbitrária. A condição de solução implícita da equação exata é \Phi(x,v)=\text{const}. Por isso a solução geral da equação diferencial é
2 v^{2} e^{-r/x} - \operatorname{Ei}\!\Big(-\frac{r}{x}\Big)=C,
com C constante.

Resposta

2 v^{2} e^{-r/x} - \operatorname{Ei}\!\Big(-\dfrac{r}{x}\Big)=C

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