determine um fator integrante apropriado para cada equação diferencial e resolva.
\left(3 x^{2} y-x^{2}\right) d x+d y=0

Passo 1

O enunciado pede que eu determine um fator integrante apropriado para a equação diferencial e, em seguida, resolva a equação. A equação dada é
\bigl(3x^{2}y - x^{2}\bigr)\,dx + dy = 0.
Informações relevantes que o enunciado dá:
M(x,y)=3x^{2}y - x^{2},\qquad N(x,y)=1.
As tarefas são: (i) encontrar um fator integrante adequado (se possível), e (ii) usar esse fator integrante para resolver a equação (obter a solução geral).

Passo 2

Primeiro verifico se a equação é exata sem fator integrante. Para isso calculo as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y}=3x^{2},\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=0.
Como \frac{\partial M}{\partial y}\neq\frac{\partial N}{\partial x}, a forma não é exata, ou seja, não existe diretamente uma função potencial \Phi com \Phi_x=M e \Phi_y=N.

Passo 3

Vou procurar um fator integrante que dependa somente de x, isto é, \mu=\mu(x). Motivação e fórmula usada:
Se \mu=\mu(x) então a equação multiplicada por \mu deve ser exata, ou seja
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\mu M\bigr)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\mu N\bigr).
Dessa condição, é possível obter a fórmula prática
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=g(x)
quando o lado esquerdo depende apenas de x. Nesse caso \mu(x)=\exp\!\Bigl(\int g(x)\,dx\Bigr).
Calculo o lado esquerdo usando M e N:
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=\frac{3x^{2}-0}{1}=3x^{2},
que depende somente de x. Logo posso tomar
g(x)=3x^{2}\quad\Rightarrow\quad \mu(x)=\exp\!\Bigl(\int 3x^{2}\,dx\Bigr)=\exp\!\bigl(x^{3}\bigr).

Passo 4

Multiplico a equação original por \mu(x)=e^{x^{3}}. A nova forma é
\bigl(e^{x^{3}}(3x^{2}y - x^{2})\bigr)\,dx + e^{x^{3}}\,dy = 0.
Defino
\tilde M(x,y)=e^{x^{3}}(3x^{2}y - x^{2}),\qquad \tilde N(x,y)=e^{x^{3}}.
Verifico a exatidão:
\frac{\partial \tilde M}{\partial y}=e^{x^{3}}\cdot 3x^{2},\qquad \frac{\partial \tilde N}{\partial x}=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^{3}}\bigr)=e^{x^{3}}\cdot 3x^{2}.
Como as derivadas parciais coincidem, a forma multiplicada por \mu é exata.

Passo 5

Agora procuro a função potencial \Phi(x,y) tal que
\Phi_x=\tilde M=e^{x^{3}}(3x^{2}y - x^{2}),\qquad \Phi_y=\tilde N=e^{x^{3}}.
Integro \Phi_x em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int e^{x^{3}}(3x^{2}y - x^{2})\,dx.
Faço a integral termo a termo.
Primeiro termo:
\int e^{x^{3}}\cdot 3x^{2}y\,dx = y\int 3x^{2}e^{x^{3}}\,dx.
Observação: \frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}, então 3x^{2}e^{x^{3}}\,dx=d(e^{x^{3}}). Assim
y\int 3x^{2}e^{x^{3}}\,dx = y\,e^{x^{3}}.
Segundo termo:
\int e^{x^{3}}\cdot x^{2}\,dx.
Faço a substituição u=x^{3}\Rightarrow du=3x^{2}\,dx\Rightarrow x^{2}\,dx=\tfrac{1}{3}\,du. Portanto
\int x^{2}e^{x^{3}}\,dx = \int e^{u}\cdot \tfrac{1}{3}\,du = \tfrac{1}{3}e^{u} = \tfrac{1}{3}e^{x^{3}}.
Com isso obtenho
\Phi(x,y)=y\,e^{x^{3}} - \tfrac{1}{3}e^{x^{3}} + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y. Para determinar h uso a condição \Phi_y=\tilde N:
\Phi_y = e^{x^{3}} + h'(y) \stackrel{!}{=} e^{x^{3}}.
Daí h'(y)=0, logo h(y) é constante. Posso tomar h(y)=C.

Passo 6

A solução implícita (potencial constante) é
y\,e^{x^{3}} - \tfrac{1}{3}e^{x^{3}} = C.
Fatorando e^{x^{3}},
e^{x^{3}}\Bigl(y-\tfrac{1}{3}\Bigr)=C.
Posso também escrever a solução explícita para y:
y=\tfrac{1}{3} + C e^{-x^{3}}.

Resposta

\mu(x)=e^{x^{3}}
\displaystyle y=\tfrac{1}{3}+C e^{-x^{3}}

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