determine um fator integrante apropriado para cada equação diferencial e resolva.
\left(3 x^{2} y-x^{2}\right) d x+d y=0
\left(3 x^{2} y-x^{2}\right) d x+d y=0
Passo 1
O enunciado pede que eu determine um fator integrante apropriado para a equação diferencial e, em seguida, resolva a equação. A equação dada é
Informações relevantes que o enunciado dá:
As tarefas são: (i) encontrar um fator integrante adequado (se possível), e (ii) usar esse fator integrante para resolver a equação (obter a solução geral).
Passo 2
Primeiro verifico se a equação é exata sem fator integrante. Para isso calculo as derivadas parciais
Como
, a forma não é exata, ou seja, não existe diretamente uma função potencial
com
e
.
Passo 3
Vou procurar um fator integrante que dependa somente de
, isto é,
. Motivação e fórmula usada:
Se então a equação multiplicada por
deve ser exata, ou seja
Se
Dessa condição, é possível obter a fórmula prática
quando o lado esquerdo depende apenas de
. Nesse caso
.
Calculo o lado esquerdo usando
e
:
que depende somente de
. Logo posso tomar
Passo 4
Multiplico a equação original por
. A nova forma é
Defino
Verifico a exatidão:
Como as derivadas parciais coincidem, a forma multiplicada por
é exata.
Passo 5
Agora procuro a função potencial
tal que
Integro
em relação a
, tratando
como constante:
Faço a integral termo a termo.
Primeiro termo:
Observação:
, então
. Assim
Segundo termo:
Faço a substituição
. Portanto
Com isso obtenho
onde
é uma função arbitrária de
. Para determinar
uso a condição
:
Daí
, logo
é constante. Posso tomar
.
Passo 6
A solução implícita (potencial constante) é
Fatorando
,
Posso também escrever a solução explícita para
: