teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
(x y+1) d x+(x y-1) d y=0
(x y+1) d x+(x y-1) d y=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para testar se ela é exata e, se for exata, resolvê‑la.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Definição de exatidão (explicação didática): uma equação escrita como
é exata se existe uma função potencial
tal que
e
. Uma condição prática equivalente é
Aqui
significa derivar
tratando
como constante, e
significa derivar
tratando
como constante.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais pedidas:
Comparando, obtemos
e
. Essas duas expressões são iguais somente quando
, ou seja, não são iguais de forma geral em todo o domínio. Portanto a equação não é exata no sentido usual.
Passo 4
Comentário sobre implicação prática: como
em geral, não existe diretamente uma função potencial
tal que
. Logo não podemos resolver imediatamente por integração direta do tipo
.
Passo 5
Tentativa de fator integrante simples — explicação didática: às vezes a equação não é exata, mas multiplicando por um fator integrante
(dependendo só de
) ou
(dependendo só de
) ela se torna exata. Critérios práticos:
- Para haver
deve ocorrer que
seja função só de
.
- Para haver
deve ocorrer que
seja função só de
.
Passo 6
Calculemos os dois quocientes para ver se dependem apenas de
ou apenas de
.
Primeiro:
Essa expressão depende simultaneamente de
e de
(por exemplo, fixando
e variando
muda o valor), logo não é função somente de
. Portanto não existe fator integrante do tipo
.
Segundo:
Essa expressão também depende de
e de
simultaneamente, logo não é função somente de
. Portanto não existe fator integrante do tipo
.
Passo 7
Conclusão prática e orientação: a equação não é exata e não admite fator integrante que dependa apenas de
nem apenas de
. Existem fatores integrantes mais gerais (funções de
e
juntos) que podem, em princípio, transformar a equação em exata, mas encontrá‑los exige resolver uma equação diferencial parcial ou tentar ansa‑tzes específicos (por exemplo
e testar), o que é um trabalho adicional não solicitado explicitamente. Como a instrução era testar exatidão e resolver as que forem exatas, encerramos aqui após a verificação.
Resposta
A equação não é exata; não existe fator integrante dependente apenas de
nem apenas de
, portanto não se resolve diretamente pelo método de equações exatas sem buscar um fator integrante mais geral.