teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
(x y+1) d x+(x y-1) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(xy+1)\,dx + (xy-1)\,dy = 0
e pede para testar se ela é exata e, se for exata, resolvê‑la.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
M(x,y)=xy+1\quad\text{(coeficiente de }dx\text{)},
N(x,y)=xy-1\quad\text{(coeficiente de }dy\text{)}.

Passo 2

Definição de exatidão (explicação didática): uma equação escrita como
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é exata se existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que \partial\Psi/\partial x = M e \partial\Psi/\partial y = N. Uma condição prática equivalente é
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Aqui \partial M/\partial y significa derivar M tratando x como constante, e \partial N/\partial x significa derivar N tratando y como constante.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais pedidas:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(xy+1)=x,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(xy-1)=y.
Comparando, obtemos \partial M/\partial y=x e \partial N/\partial x=y. Essas duas expressões são iguais somente quando x=y, ou seja, não são iguais de forma geral em todo o domínio. Portanto a equação não é exata no sentido usual.

Passo 4

Comentário sobre implicação prática: como \partial M/\partial y\neq\partial N/\partial x em geral, não existe diretamente uma função potencial \Psi(x,y) tal que \nabla\Psi=(M,N). Logo não podemos resolver imediatamente por integração direta do tipo \Psi(x,y)=C.

Passo 5

Tentativa de fator integrante simples — explicação didática: às vezes a equação não é exata, mas multiplicando por um fator integrante \mu(x) (dependendo só de x) ou \mu(y) (dependendo só de y) ela se torna exata. Critérios práticos:
  • Para haver \mu=\mu(x) deve ocorrer que
\frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)
seja função só de x.
  • Para haver \mu=\mu(y) deve ocorrer que
\frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)
seja função só de y.

Passo 6

Calculemos os dois quocientes para ver se dependem apenas de x ou apenas de y.
Primeiro:
\frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right) =\frac{1}{xy-1}\,(x-y)=\frac{x-y}{xy-1}.
Essa expressão depende simultaneamente de x e de y (por exemplo, fixando x e variando y muda o valor), logo não é função somente de x. Portanto não existe fator integrante do tipo \mu(x).
Segundo:
\frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right) =\frac{1}{xy+1}\,(y-x)=\frac{y-x}{xy+1}.
Essa expressão também depende de x e de y simultaneamente, logo não é função somente de y. Portanto não existe fator integrante do tipo \mu(y).

Passo 7

Conclusão prática e orientação: a equação não é exata e não admite fator integrante que dependa apenas de x nem apenas de y. Existem fatores integrantes mais gerais (funções de x e y juntos) que podem, em princípio, transformar a equação em exata, mas encontrá‑los exige resolver uma equação diferencial parcial ou tentar ansa‑tzes específicos (por exemplo \mu(x,y)=x^m y^n e testar), o que é um trabalho adicional não solicitado explicitamente. Como a instrução era testar exatidão e resolver as que forem exatas, encerramos aqui após a verificação.

Resposta

A equação não é exata; não existe fator integrante dependente apenas de x nem apenas de y, portanto não se resolve diretamente pelo método de equações exatas sem buscar um fator integrante mais geral.

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