Mostre que a equação linear \mathbf{y}^{\prime}+\mathbf{P}(\mathbf{t}) \mathbf{y}=\mathbf{q}(\mathbf{t}) é equivalente a uma equação separável se:
c) q(t)=0
onde \mathbf{A}(t) depende apenas de t e \mathbf{h}(\mathbf{y}) apenas de \mathbf{y}, diz-se que o lado direito é separado em fator dependente só de t vezes fator dependente só de \mathbf{y}. Essa é a generalização natural de “separável” para sistemas. Nem sempre se pode "dividir por \mathbf{h}(\mathbf{y})" como no escalar, mas a forma é a mesma: produto de função de t por função de \mathbf{y}.
Passo 3
Colocando \mathbf{q}(t)=0 na equação dada e reescrevendo.
Com \mathbf{q}(t)=0 a equação fica
\mathbf{y}^{\prime}+\mathbf{P}(t)\,\mathbf{y}=0.
Rearranjando,
\mathbf{y}^{\prime}=-\mathbf{P}(t)\,\mathbf{y}.
Observe que o lado direito é o produto de uma função que depende somente de t (a matriz -\mathbf{P}(t)) e uma função que depende somente de \mathbf{y} (a aplicação identidade \mathbf{y}\mapsto\mathbf{y}). Portanto, na acepção apropriada para sistemas, a equação está na forma separável:
\mathbf{y}'=\underbrace{-\mathbf{P}(t)}_{ \text{só depende de }t}\;\underbrace{\mathbf{y}}_{\text{só depende de }\mathbf{y}}.
Isso responde a parte da equivalência: a equação homogênea é da forma produto de algo que depende só de t por algo que depende só de \mathbf{y}, logo é “separável” no sentido vetorial.
Passo 4
Como resolver na prática — caso escalar (para ver a mecânica da separação).
Se a equação fosse escalar (não vetorial), isto é y'+p(t)y=0, escreve-se
Este é o método padrão e funciona bem na prova: dividir por y (assumindo y\neq0), integrar e exponenciar.
Passo 5
Como proceder no caso vetorial (sistema) — método do fundamental matrix e exponencial matricial.
No caso vetorial não se "divide por \mathbf{y}" como no escalar. A forma já é \mathbf{y}'=-\mathbf{P}(t)\mathbf{y}. O método padrão é introduzir a matriz fundamental \Phi(t), definida como a matriz solução da equação matricial
\Phi'(t)=-\mathbf{P}(t)\,\Phi(t)
com condição inicial \Phi(t_0)=\mathbf{I} (matriz identidade). Então a solução geral do sistema é
\mathbf{y}(t)=\Phi(t)\,\mathbf{c},
onde \mathbf{c} é o vetor de constantes determinado pela condição inicial.
Uma forma explícita para \Phi existe quando as matrizes \mathbf{P}(t) “comutam” adequadamente ao longo do tempo. Se, por exemplo, \mathbf{P}(s) comuta com \mathbf{P}(t) para todos s,t (isto é, \mathbf{P}(s)\mathbf{P}(t)=\mathbf{P}(t)\mathbf{P}(s) para todos s,t), então
Casos simples em que essa fórmula é válida e fácil de aplicar:
\mathbf{P}(t)=p(t)\mathbf{I} (múltiplo escalar da identidade): então \Phi(t)=\exp\!\bigl(-\int p\bigr)\mathbf{I} e cada componente do vetor obedece ao mesmo fator escalar.
\mathbf{P}(t) diagonal com entradas dependendo de t: resolve-se componente a componente como no caso escalar.
Passo 6
Resumo prático para a prova (passos a seguir quando aparecer esse caso).
Reconhecer que com \mathbf{q}(t)=0 a equação fica \mathbf{y}'=-\mathbf{P}(t)\mathbf{y}, portanto é separável no sentido "produto de função de t por função de \mathbf{y}".
Se for escalares, separar diretamente e integrar: \dfrac{1}{y}dy=-p(t)dt.
Se for sistema:
tentar diagonalizar ou verificar se \mathbf{P}(t) é múltiplo escalar da identidade (casos simples).
em geral usar matriz fundamental \Phi com \Phi'=-\mathbf{P}\Phi e \mathbf{y}(t)=\Phi(t)\mathbf{c}.
se \mathbf{P}(t) comuta ao longo do tempo, usar \Phi(t)=\exp\!\bigl(-\int\mathbf{P}\bigr).
Força aí — o passo essencial para a equivalência está em ver que a equação homogênea é exatamente da forma produto de função de t por função de \mathbf{y}.
Resposta
Com \mathbf{q}(t)=0 a equação fica \mathbf{y}'=-\mathbf{P}(t)\mathbf{y}, que é da forma produto de uma função que depende só de t por uma função que depende só de \mathbf{y}; portanto é separável.
Solução escalar: y(t)=C\exp\!\bigl(-\int p(t)\,dt\bigr).
Solução geral do sistema: \mathbf{y}(t)=\Phi(t)\mathbf{c}, com \Phi'(t)=-\mathbf{P}(t)\Phi(t) e \Phi(t_0)=\mathbf{I}; se \mathbf{P}(s) comuta com \mathbf{P}(t) então \Phi(t)=\exp\!\bigl(-\int_{t_0}^{t}\mathbf{P}(s)\,ds\bigr).