Mostre que a equação linear \mathbf{y}^{\prime}+\mathbf{P}(\mathbf{t}) \mathbf{y}=\mathbf{q}(\mathbf{t}) é equivalente a uma equação separável se:
a) \mathbf{P}(\mathbf{t})=\mathbf{a} e \mathbf{q}(\mathbf{t})=\mathbf{b}, para \mathbf{a}, \mathbf{b} \in \Re

Passo 1

O enunciado dá a equação linear
\mathbf{y}^{\prime}+\mathbf{P}(\mathbf{t})\,\mathbf{y}=\mathbf{q}(\mathbf{t})
com a informação especial de que \mathbf{P}(\mathbf{t})=\mathbf{a} e \mathbf{q}(\mathbf{t})=\mathbf{b}, onde \mathbf{a},\mathbf{b}\in\Re (constantes).
A tarefa é mostrar que, neste caso, a equação é equivalente a uma equação separável e encontrar a solução geral.

Passo 2

O que significa “equação separável”?
Uma equação ordinária de primeira ordem é chamada separável quando pode ser escrita na forma
\frac{dy}{dt}=F(t)\,G(y),
isto é, quando os termos que dependem de t aparecem só de um lado e os que dependem de y só do outro. Então é possível “separar as variáveis” e escrever
\frac{1}{G(y)}\,dy = F(t)\,dt,
e integrar cada lado. Um caso muito simples é quando F(t)=1, porque então basta dividir por uma função de y e integrar em t.

Passo 3

Escrevendo a equação dada com \mathbf{P}(\mathbf{t})=\mathbf{a} e \mathbf{q}(\mathbf{t})=\mathbf{b}, obtemos
\frac{dy}{dt}+a\,y=b.
Reorganizando,
\frac{dy}{dt}= -a\,y + b.
Observe que o lado direito é uma função que depende apenas de y (não depende de t). Podemos interpretar isso como
\frac{dy}{dt}=1\cdot(-a\,y+b),
ou seja, F(t)=1 e G(y)=-a\,y+b. Portanto a equação é separável: basta colocar todos os termos em y de um lado e dt do outro:
\frac{1}{-a\,y+b}\,dy = dt.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados. Tratamos primeiro o caso a\neq 0.
Fazer a substituição u=b-a\,y. Então du=-a\,dy ou dy=-\dfrac{1}{a}\,du. Assim
\int \frac{1}{-a\,y+b}\,dy = \int \frac{1}{u}\left(-\frac{1}{a}\,du\right)= -\frac{1}{a}\int \frac{du}{u} = -\frac{1}{a}\ln|u| + C.
Voltando a y:
-\frac{1}{a}\ln|b-a\,y| = t + C.
Multiplicando por -a:
\ln|b-a\,y| = -a\,t + C_1,
onde C_1=-aC é outra constante arbitrária. Exponenciando,
|b-a\,y| = C_2 e^{-a t},
com C_2>0 constante. Retirando o valor absoluto (absorvendo o sinal em uma constante arbitrária C\in\Re),
b-a\,y = C e^{-a t}.
Finalmente isolando y:
y(t)=\frac{b}{a} - \frac{C}{a} e^{-a t},
onde C é uma constante real arbitrária. Esta é a solução geral para a\neq 0.

Passo 5

Tratar o caso a=0 (não podemos dividir por a aí). Se a=0 a equação fica
\frac{dy}{dt}=b.
Isto é separável e trivial de integrar:
\int dy = \int b\,dt \quad\Rightarrow\quad y(t)=b\,t + C,
com C constante arbitrária.

Passo 6

Resumo e interpretação didática (pra você saber usar na prova):
  • A equação original com P(t)=a e q(t)=b reduz a uma equação da forma \dfrac{dy}{dt}=g(y) (i.e., sem dependência explícita em t), que é separável porque pode ser escrita como \dfrac{1}{g(y)}dy=dt.
  • Integra-se o lado em y e o lado em t, resolve a integral (muitas vezes por substituição linear como u=b-a y) e isola y.
  • Lembre-se de separar o caso a=0 (reduz a integração direta) do caso a\neq 0 (usa logaritmo).

Resposta

Para a\neq 0: y(t)=\frac{b}{a}-\frac{C}{a}\,e^{-a t},\quad C\in\Re.
Para a=0: y(t)=b\,t + C,\quad C\in\Re.

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