Mostre que a equação linear
é equivalente a uma equação separável se:
a)
e
, para
a)
Passo 1
O enunciado dá a equação linear
com a informação especial de que
e
, onde
(constantes).
A tarefa é mostrar que, neste caso, a equação é equivalente a uma equação separável e encontrar a solução geral.
A tarefa é mostrar que, neste caso, a equação é equivalente a uma equação separável e encontrar a solução geral.
Passo 2
O que significa “equação separável”?
Uma equação ordinária de primeira ordem é chamada separável quando pode ser escrita na forma
Uma equação ordinária de primeira ordem é chamada separável quando pode ser escrita na forma
isto é, quando os termos que dependem de
aparecem só de um lado e os que dependem de
só do outro. Então é possível “separar as variáveis” e escrever
e integrar cada lado. Um caso muito simples é quando
, porque então basta dividir por uma função de
e integrar em
.
Passo 3
Escrevendo a equação dada com
e
, obtemos
Reorganizando,
Observe que o lado direito é uma função que depende apenas de
(não depende de
). Podemos interpretar isso como
ou seja,
e
. Portanto a equação é separável: basta colocar todos os termos em
de um lado e
do outro:
Passo 4
Agora integramos ambos os lados. Tratamos primeiro o caso
.
Fazer a substituição
. Então
ou
. Assim
Voltando a
:
Multiplicando por
:
onde
é outra constante arbitrária. Exponenciando,
com
constante. Retirando o valor absoluto (absorvendo o sinal em uma constante arbitrária
),
Finalmente isolando
:
onde
é uma constante real arbitrária. Esta é a solução geral para
.
Passo 5
Tratar o caso
(não podemos dividir por
aí). Se
a equação fica
Isto é separável e trivial de integrar:
com
constante arbitrária.
Passo 6
Resumo e interpretação didática (pra você saber usar na prova):
- A equação original com
e reduz a uma equação da forma (i.e., sem dependência explícita em ), que é separável porque pode ser escrita como . - Integra-se o lado em
e o lado em , resolve a integral (muitas vezes por substituição linear como ) e isola . - Lembre-se de separar o caso
(reduz a integração direta) do caso (usa logaritmo).
Resposta
Para
:
Para
: