Determine um fator integrante apropriado para cada equação e resolva-a.
x y^{2} d x+\left(x^{2} y^{2}+x^{2} y\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial \displaystyle x\,y^{2}\,dx + \bigl(x^{2}y^{2}+x^{2}y\bigr)\,dy = 0.
Aqui o assunto é equações exatas e fatores integrantes. Vamos verificar se é exata e, caso não seja, buscar um fator integrante em x ou em y.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=x\,y^{2},\quad N(x,y)=x^{2}y^{2}+x^{2}y.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=2x y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2x y^{2}+2x y.
Como 2x y\neq 2x y^{2}+2x y, a equação não é exata.

Passo 3

Testamos um fator integrante \mu(x) via
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} = \frac{-2x y^{2}}{x^{2}y(y+1)} = -\frac{2}{x(y+1)},
que depende de y. Logo, não serve para \mu(x).

Passo 4

Testamos um fator integrante \mu(y) via
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} = \frac{2x y^{2}}{x y^{2}} = 2,
função apenas de y. Assim
\mu(y)=e^{\int 2\,dy}=e^{2y}.

Passo 5

Multiplicando a equação original por e^{2y}, obtemos
M^*=x\,y^{2}e^{2y},\quad N^*=x^{2}y(y+1)e^{2y},
que agora é exata pois \partial M^*/\partial y=\partial N^*/\partial x. Existe então \psi(x,y) tal que \partial\psi/\partial x=M^* e \partial\psi/\partial y=N^*.

Passo 6

Integramos \partial\psi/\partial x=M^* em x:
\psi(x,y)=\int x\,y^{2}e^{2y}\,dx = \frac{x^{2}}{2}\,y^{2}e^{2y}+h(y).
Derivando isso em y e igualando a N^*:
\frac{\partial\psi}{\partial y} = x^{2}y(y+1)e^{2y}+h'(y) \stackrel!=x^{2}y(y+1)e^{2y},
logo h'(y)=0 e h é constante.

Resposta

x^{2}y^{2}e^{2y}=C.

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