Find the limits.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{3 x^{2}-y^{2}+5}{x^{2}+y^{2}+2}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{3x^{2}-y^{2}+5}{x^{2}+y^{2}+2}.
O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos usar a ideia de continuidade (substituição direta) já que o denominador no ponto não se anula.

Passo 2

Definimos
f(x,y)=\frac{3x^{2}-y^{2}+5}{x^{2}+y^{2}+2}.
Como x^{2}+y^{2}+2 é contínua e vale 2 em (0,0) (não zero), f é contínua em torno de (0,0). Assim, podemos avaliar o limite por substituição direta.

Passo 3

Ao substituir (x,y)=(0,0), no numerador temos
3\cdot0^{2}-0^{2}+5 = 5,
e no denominador
0^{2}+0^{2}+2 = 2.
Logo,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = \frac{5}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{2}

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