Find the limits.
\lim _{P \rightarrow(1,-1,-1)} \frac{2 x y+y z}{x^{2}+z^{2}}

Passo 1

O enunciado nos pede o limite da função de três variáveis
f(x,y,z)=\frac{2xy+yz}{x^{2}+z^{2}}
quando o ponto P=(x,y,z) se aproxima de (1,-1,-1). O conteúdo aqui é limite em várias variáveis e uso de continuidade: se o denominador se mantém diferente de zero no ponto em questão, podemos simplesmente avaliar a função naquele ponto para obter o limite.

Passo 2

Verificamos o denominador em P_{0}=(1,-1,-1):
x^{2}+z^{2} = 1^{2} + (-1)^{2} = 1 + 1 = 2 \neq 0.
Como o denominador não se anula em P_{0}, a função é contínua em torno desse ponto.

Passo 3

Calculamos o numerador em P_{0}:
2xy + yz = 2\cdot1\cdot(-1) + (-1)\cdot(-1) = -2 + 1 = -1.

Passo 4

Pela continuidade de f em P_{0}, o limite vale o valor de f naquele ponto. Assim,
\lim_{P\to(1,-1,-1)} \frac{2xy+yz}{x^{2}+z^{2}} = \frac{-1}{2} = -\tfrac12.

Resposta

-\tfrac{1}{2}

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