Determine um fator integrante e resolva
3 y d x-x d y=0, x>0 e y>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
3y\,dx - x\,dy = 0,
com as condições x>0 e y>0. O que se pede é:
  • Determinar um fator integrante que torne a equação exata.
  • Resolver a equação (achar a solução geral).
As informações relevantes: a equação pode ser escrita na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 com M=3y e N=-x. Não começamos a resolver aqui, apenas listamos o que temos.

Passo 2

Verificamos se a forma é exata. Uma equação M\,dx+N\,dy=0 é exata se \partial M/\partial y = \partial N/\partial x. Calculemos:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3y)=3, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-x)=-1.
Como 3 \neq -1, a equação não é exata. Precisamos então procurar um fator integrante \mu (função de x ou de y, por exemplo) que torne a nova equação \mu M\,dx + \mu N\,dy=0 exata.

Passo 3

Explico a técnica para buscar um fator integrante que dependa só de x. Se \mu=\mu(x), a condição de exatidão para \mu M\,dx+\mu N\,dy=0 é
\frac{\partial}{\partial y}(\mu M)=\frac{\partial}{\partial x}(\mu N).
Como \mu depende só de x, temos
\mu\frac{\partial M}{\partial y}=\mu'\,N+\mu\frac{\partial N}{\partial x},
onde \mu'=\dfrac{d\mu}{dx}. Isolando \mu'/\mu,
\frac{\mu'}{\mu}=\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N}.
Se o lado direito depende apenas de x, então existe \mu(x) que satisfaz essa igualdade. Agora aplicamos isso ao nosso caso: já calculamos \partial M/\partial y=3 e \partial N/\partial x=-1, e N=-x. Portanto
\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N}=\frac{3-(-1)}{-x}=\frac{4}{-x}=-\frac{4}{x},
que depende apenas de x. Logo existe um fator integrante que depende somente de x.

Passo 4

Agora resolvemos para \mu(x). Temos
\frac{\mu'}{\mu}=-\frac{4}{x}.
Isto é uma equação para \ln\mu:
\frac{d}{dx}(\ln\mu)=-\frac{4}{x}.
Integramos ambos os lados:
\ln\mu = -4\ln x + C,
portanto, desprezando a constante multiplicativa irrelevante,
\mu(x)=x^{-4}.
Concluímos que \mu(x)=x^{-4} é um fator integrante.

Passo 5

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=x^{-4}. Obtemos
x^{-4}(3y\,dx - x\,dy)=0,
ou, escrevendo os coeficientes:
\underbrace{3y\,x^{-4}}_{ \tilde M(x,y)}\,dx \;+\; \underbrace{(-x^{-3})}_{ \tilde N(x,y)}\,dy = 0.
Verifiquemos a exatidão agora:
\frac{\partial \tilde M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3y x^{-4})=3x^{-4}, \qquad \frac{\partial \tilde N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-x^{-3})= -(-3)x^{-4}=3x^{-4}.
Como os dois são iguais, a equação com o fator integrante é exata.

Passo 6

Sendo exata, existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=\tilde M=3y x^{-4}, \qquad \frac{\partial \Psi}{\partial y}=\tilde N=-x^{-3}.
Integramos \partial \Psi/\partial x em relação a x:
\Psi(x,y)=\int 3y x^{-4}\,dx = 3y \int x^{-4}\,dx.
Lembre que \int x^{n}\,dx = x^{n+1}/(n+1) para n\neq -1. Aqui n=-4, então
\int x^{-4}\,dx = \frac{x^{-3}}{-3}.
Portanto
\Psi(x,y)=3y\cdot\frac{x^{-3}}{-3} + h(y) = -y x^{-3} + h(y),
onde h(y) é uma função de y aparecendo por ser a constante de integração relativa à integração em x. Agora impomos \partial \Psi/\partial y = \tilde N:
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = -x^{-3} + h'(y) \stackrel{!}{=} -x^{-3}.
Daí h'(y)=0, logo h(y) é constante. Assim a função potencial é
\Psi(x,y) = -y x^{-3} + \text{const}.
A condição implícita de solução é \Psi(x,y)=\text{const}, ou seja
- y x^{-3} = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

- y x^{-3} = C
y = K x^{3} (com K=-C, constante real; para x>0,y>0 tem K>0)

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