Determine um fator integrante e resolva 3 y d x-x d y=0, x>0 e y>0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
3y\,dx - x\,dy = 0,
com as condições x>0 e y>0. O que se pede é:
Determinar um fator integrante que torne a equação exata.
Resolver a equação (achar a solução geral).
As informações relevantes: a equação pode ser escrita na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 com M=3y e N=-x. Não começamos a resolver aqui, apenas listamos o que temos.
Passo 2
Verificamos se a forma é exata. Uma equação M\,dx+N\,dy=0 é exata se \partial M/\partial y = \partial N/\partial x. Calculemos:
Como 3 \neq -1, a equação não é exata. Precisamos então procurar um fator integrante \mu (função de x ou de y, por exemplo) que torne a nova equação \mu M\,dx + \mu N\,dy=0 exata.
Passo 3
Explico a técnica para buscar um fator integrante que dependa só de x. Se \mu=\mu(x), a condição de exatidão para \mu M\,dx+\mu N\,dy=0 é
\frac{\mu'}{\mu}=\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N}.
Se o lado direito depende apenas de x, então existe \mu(x) que satisfaz essa igualdade. Agora aplicamos isso ao nosso caso: já calculamos \partial M/\partial y=3 e \partial N/\partial x=-1, e N=-x. Portanto
\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N}=\frac{3-(-1)}{-x}=\frac{4}{-x}=-\frac{4}{x},
que depende apenas de x. Logo existe um fator integrante que depende somente de x.
Passo 4
Agora resolvemos para \mu(x). Temos
\frac{\mu'}{\mu}=-\frac{4}{x}.
Isto é uma equação para \ln\mu:
\frac{d}{dx}(\ln\mu)=-\frac{4}{x}.
Integramos ambos os lados:
\ln\mu = -4\ln x + C,
portanto, desprezando a constante multiplicativa irrelevante,
\mu(x)=x^{-4}.
Concluímos que \mu(x)=x^{-4} é um fator integrante.
Passo 5
Multiplicamos a equação original por \mu(x)=x^{-4}. Obtemos
onde h(y) é uma função de y aparecendo por ser a constante de integração relativa à integração em x. Agora impomos \partial \Psi/\partial y = \tilde N: