Determine um fator integrante e resolva
x y d x+\left(x^{2}-y^{2}\right) d y=0, y>0

Passo 1

O enunciado pede: "Determine um fator integrante e resolva \;x y\,dx + (x^{2}-y^{2})\,dy = 0,\; y>0".\n
Informações dadas:
\begin{cases} \text{Equação diferencial: }x y\,dx + (x^{2}-y^{2})\,dy = 0,\\\ \text{Domínio informado: }y>0. \end{cases}çãí
Perguntas implícitas que precisamos responder:
\begin{cases} \text{(a) Encontrar um fator integrante adequado},\\\ \text{(b) Resolver a equação (obter a solução geral).} \end{cases}çãçã

Passo 2

Identificamos a forma diferencial padrão \;M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 com
M(x,y)=x y,\qquad N(x,y)=x^{2}-y^{2}.
Para saber se a equação já é exata, calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = x,\qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 2x.
Como \frac{\partial M}{\partial y}\neq\frac{\partial N}{\partial x} (pois x\neq 2x em geral), a equação não é exata sem fator integrante.

Passo 3

Explicação didática rápida sobre fator integrante:
  • Se multiplicarmos a equação por uma função \mu (o fator integrante), obtemos \mu M\,dx + \mu N\,dy = 0. Queremos que isso seja exato, isto é,
\frac{\partial}{\partial y}(\mu M)=\frac{\partial}{\partial x}(\mu N).
  • Se \mu depende só de x, há uma condição prática que deve ser função apenas de x:
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} \quad\text{deve ser função só de }x.çãó
  • Se \mu depende só de y, a condição prática é:
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} \quad\text{deve ser função só de }y.çãó
Essas fórmulas vêm de desenvolver \partial_y(\mu M)=\partial_x(\mu N) e dividir por \mu, isolando \mu'/\mu quando \mu é função de uma única variável. Vou usar essas condições para testar fatores integrantes simples (função só de x ou só de y).

Passo 4

Teste para \mu=\mu(x). Calculamos
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} = \frac{x-2x}{x^{2}-y^{2}}=\frac{-x}{x^{2}-y^{2}}.
Essa expressão depende de y (porque aparece y^{2} no denominador), então não é função apenas de x. Logo não existe fator integrante que dependa somente de x (pelo critério simples).

Passo 5

Teste para \mu=\mu(y). Calculamos
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} = \frac{2x-x}{x y}=\frac{x}{x y}=\frac{1}{y}.
Excelente: esse quociente é \frac{1}{y}, que depende apenas de y. Portanto existe um fator integrante que é função só de y. Observação importante: precisamos de M\neq 0, isto é, x y\neq 0; como o enunciado assume y>0, y não é zero, então estamos seguros quanto ao uso de \frac{1}{y}.

Passo 6

A relação para \mu(y) é (derivada a partir da condição de exatidão)
\frac{\mu'(y)}{\mu(y)}=\frac{1}{y}.
Integramos ambos os lados em relação a y:
\int \frac{\mu'(y)}{\mu(y)}\,dy = \int \frac{1}{y}\,dy
\Rightarrow \ln(\mu(y)) = \ln(y) + C.
Exponenciando, obtemos \mu(y)=C\,y. Podemos escolher um fator integrante conveniente multiplicando por constante sem alterar a exatidão; tomamos
\mu(y)=y.
(A condição y>0 garante que \mu(y) é não nula.)

Passo 7

Multiplicamos a equação original por \mu(y)=y. A equação transformada fica
(y\cdot x y)\,dx + (y\cdot (x^{2}-y^{2}))\,dy = 0,
ou seja, definindo
\widetilde{M}(x,y)=x y^{2},\qquad \widetilde{N}(x,y)=x^{2}y - y^{3},
temos \widetilde{M}\,dx+\widetilde{N}\,dy=0. Verificamos agora a exatidão:
\frac{\partial \widetilde{M}}{\partial y}=2x y,\qquad \frac{\partial \widetilde{N}}{\partial x}=2x y,
são iguais, logo a forma é exata.

Passo 8

Como a forma é exata, existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\widetilde{M}(x,y)=x y^{2}.
Integramos essa igualdade em x (tratando y como constante):
\Phi(x,y)=\int x y^{2}\,dx = \frac{1}{2}x^{2}y^{2} + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 9

Impondo que \partial \Phi/\partial y=\widetilde{N}(x,y), calculamos a derivada de \Phi em y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{1}{2}x^{2}\cdot 2y + h'(y) = x^{2}y + h'(y).
Igualando à \widetilde{N},
x^{2}y + h'(y) = x^{2}y - y^{3}.
Cancelando x^{2}y em ambos os lados obtemos
h'(y) = -y^{3}.
Integramos em y:
h(y) = -\frac{1}{4}y^{4} + \text{constante}.
Portanto uma expressão para a função potencial (sem ainda fixar a constante global) é
\Phi(x,y)=\frac{1}{2}x^{2}y^{2} - \frac{1}{4}y^{4}.

Passo 10

Solução implícita geral da equação diferencial exata obtida (após multiplicar pelo fator integrante) é que a função potencial é constante. Assim a solução geral implícita pode ser escrita em uma forma polinomial mais simples multiplicando por 4 (para eliminar frações), mas vou deixar a forma limpa primeiro e depois uma forma equivalente sem frações:
\Phi(x,y)=\frac{1}{2}x^{2}y^{2} - \frac{1}{4}y^{4} = C.
Multiplicando ambos os lados por 4 obtemos uma forma equivalente
2x^{2}y^{2} - y^{4} = C',
com C'=4C constante arbitrária.

Resposta

\displaystyle \mu(y)=y\n
\displaystyle \frac{1}{2}x^{2}y^{2}-\frac{1}{4}y^{4}=C

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