Determine um fator integrante e resolva
Passo 1
O enunciado pede: "Determine um fator integrante e resolva
".\n
Informações dadas:
Informações dadas:
Perguntas implícitas que precisamos responder:
Passo 2
Identificamos a forma diferencial padrão
com
Para saber se a equação já é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como
(pois
em geral), a equação não é exata sem fator integrante.
Passo 3
Explicação didática rápida sobre fator integrante:
- Se multiplicarmos a equação por uma função
(o fator integrante), obtemos . Queremos que isso seja exato, isto é,
- Se
depende só de , há uma condição prática que deve ser função apenas de :
- Se
depende só de , a condição prática é:
Essas fórmulas vêm de desenvolver
e dividir por
, isolando
quando
é função de uma única variável. Vou usar essas condições para testar fatores integrantes simples (função só de
ou só de
).
Passo 4
Teste para
. Calculamos
Essa expressão depende de
(porque aparece
no denominador), então não é função apenas de
. Logo não existe fator integrante que dependa somente de
(pelo critério simples).
Passo 5
Teste para
. Calculamos
Excelente: esse quociente é
, que depende apenas de
. Portanto existe um fator integrante que é função só de
. Observação importante: precisamos de
, isto é,
; como o enunciado assume
,
não é zero, então estamos seguros quanto ao uso de
.
Passo 6
A relação para
é (derivada a partir da condição de exatidão)
Integramos ambos os lados em relação a
:
Exponenciando, obtemos
. Podemos escolher um fator integrante conveniente multiplicando por constante sem alterar a exatidão; tomamos
(A condição
garante que
é não nula.)
Passo 7
Multiplicamos a equação original por
. A equação transformada fica
ou seja, definindo
temos
. Verificamos agora a exatidão:
são iguais, logo a forma é exata.
Passo 8
Como a forma é exata, existe uma função potencial
tal que
Integramos essa igualdade em
(tratando
como constante):
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 9
Impondo que
, calculamos a derivada de
em
:
Igualando à
,
Cancelando
em ambos os lados obtemos
Integramos em
:
Portanto uma expressão para a função potencial (sem ainda fixar a constante global) é
Passo 10
Solução implícita geral da equação diferencial exata obtida (após multiplicar pelo fator integrante) é que a função potencial é constante. Assim a solução geral implícita pode ser escrita em uma forma polinomial mais simples multiplicando por
(para eliminar frações), mas vou deixar a forma limpa primeiro e depois uma forma equivalente sem frações:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos uma forma equivalente
com
constante arbitrária.