Determine o fator integrante que tornará, em cada item, uma edo exata. Em seguida, verifique as condições para que esta nova edo seja uma edo exata (fique à vontade em resolver a edo daí em diante):
x y d x+(2 x^2+3 y^2-20) d y=0

Passo 1

A equação diferencial dada é x y,dx + (2x^2 + 3y^2 - 20),dy = 0. Estamos no tema de equações diferenciais exatas e fatores integrantes: precisamos achar um fator que torne a equação exata e depois resolver a equação exata obtida.

Passo 2

Para testar exatidão, identificamos
M(x,y)=xy e N(x,y)=2x^2+3y^2-20.
Calculamos
partial Mpartial y=x e partial Npartial x=4x.
Como xneq 4x em geral, a equação não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante dependente só de y. O critério é verificar se
partial N/partial x - partial M/partial yM = f(y)
Aqui
4x - xxy = 3xxy = 3y,
que depende apenas de y. Então existe um fator mu(y).

Passo 4

Para achar mu(y), resolvemos
mu'(y)mu(y) = 3y
que integra para
mu(y) = e^integral 3/y,dy = y^3

Passo 5

Multiplicamos toda a equação por y^3. Passamos a ter
M^*(x,y)=x y^4,
N^*(x,y)=2x^2y^3 + 3y^5 - 20y^3
Verificamos
partial M^*partial y=4xy^3,
partial N^*partial x=4xy^3,
portanto a nova equação é exata.

Passo 6

Agora procuramos uma função potencial psi(x,y) tal que
psix = M^* = x y^4.
Integrando em relação a x:
psi(x,y) = integral x y^4,dx = x^22y^4 + h(y)
Depois, como
psiy = 2x^2y^3 + h'(y)
deve igualar N^* = 2x^2y^3 + 3y^5 -20y^3, obtemos
h'(y) = 3y^5 -20y^3
Integrando em y:
h(y) = integral (3y^5 -20y^3),dy = 12y^6 -5y^4

Passo 7

A solução geral implícita vem de psi(x,y)=C:
x^22y^4 + 12y^6 -5y^4 = C
ou, reorganizando,
y^4l(x^2 + y^2 -10r)=C'

Resposta

O fator integrante é mu(y)=y^3 e a solução implícita fica y^4(x^2+y^2-10)=C.

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