Determine o fator integrante que tornará, em cada item, uma edo exata. Em seguida, verifique as condições para que esta nova edo seja uma edo exata (fique à vontade em resolver a edo daí em diante):
Passo 1
A equação diferencial dada é
. Estamos no tema de equações diferenciais exatas e fatores integrantes: precisamos achar um fator que torne a equação exata e depois resolver a equação exata obtida.
Passo 2
Para testar exatidão, identificamos
e
.
Calculamos
e
.
Como em geral, a equação não é exata.
Calculamos
Como
Passo 3
Buscamos um fator integrante dependente só de
. O critério é verificar se
Aqui
que depende apenas de
. Então existe um fator
.
Passo 4
Para achar
, resolvemos
que integra para
Passo 5
Multiplicamos toda a equação por
. Passamos a ter
Verificamos
portanto a nova equação é exata.
Passo 6
Agora procuramos uma função potencial
tal que
.
Integrando em relação a :
Integrando em relação a
Depois, como
deve igualar
, obtemos
Integrando em
:
Passo 7
A solução geral implícita vem de
:
ou, reorganizando,
Resposta
O fator integrante é
e a solução implícita fica
.