Com relação às edos exatas da forma M(x, y) d x+N(x, y) d y=0:
(e) Quais os fatores integrantes que podem ser obtidos em termos de M, N e suas derivadas?

Passo 1

O enunciado quer que a gente encontre expressões de fatores integrantes μ(x) ou μ(y) em termos de M(x,y), N(x,y) e suas derivadas, para transformar a equação diferencial M(x,y),dx+N(x,y),dy=0 em exata. Vamos usar a condição de exatidão partialy(μM)=partialx(μN).

Passo 2

Supondo um fator integrante que depende só de x, isto é μ=μ(x), temos μy=0 e a condição partialy(μM)=partialx(μN) vira
μ(x),partial Mpartial y=μ'(x),N+μ(x),partial Npartial x
Dividindo ambos os lados por μ(x) e isolando μ'/μ resulta
μ'(x)μ(x)=partial Mpartial y-partial Npartial xN
Se o lado direito for função só de x, então
μ(x)=expl(integralMy-NxN,dxr)

Passo 3

Agora supondo um fator integrante que dependa só de y, μ=μ(y), fazemos novamente partialy(μM)=partialx(μN) mas com μx=0. Isso leva a
μ'(y),M+μ(y),My=μ(y),Nx
Dividindo por μ(y) e isolando μ'/μ obtemos
μ'(y)μ(y)=partial Npartial x-partial Mpartial yM
Se isso for função só de y, então
μ(y)=expl(integralNx-MyM,dyr)

Resposta

Os fatores integrantes possíveis são
μ(x)=exp\Bigl(∫\frac{M_y-N_x}{N},dx\Bigr) quando (M_y–N_x)/N depende só de x,
e
μ(y)=exp\Bigl(∫\frac{N_x–M_y}{M},dy\Bigr) quando (N_x–M_y)/M depende só de y.

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