Com relação às edos exatas da forma
:
(e) Quais os fatores integrantes que podem ser obtidos em termos de
e suas derivadas?
(e) Quais os fatores integrantes que podem ser obtidos em termos de
Passo 1
O enunciado quer que a gente encontre expressões de fatores integrantes μ(x) ou μ(y) em termos de M(x,y), N(x,y) e suas derivadas, para transformar a equação diferencial
em exata. Vamos usar a condição de exatidão
.
Passo 2
Supondo um fator integrante que depende só de x, isto é
, temos
e a condição
vira
Dividindo ambos os lados por
e isolando
resulta
Se o lado direito for função só de
, então
Passo 3
Agora supondo um fator integrante que dependa só de y,
, fazemos novamente
mas com
. Isso leva a
Dividindo por
e isolando
obtemos
Se isso for função só de
, então
Resposta
Os fatores integrantes possíveis são
μ(x)=exp\Bigl(∫\frac{M_y-N_x}{N},dx\Bigr) quando (M_y–N_x)/N depende só de x,
e
μ(y)=exp\Bigl(∫\frac{N_x–M_y}{M},dy\Bigr) quando (N_x–M_y)/M depende só de y.