Determine um fator primo ímpar de 5^25+1.

Passo 1

O enunciado pede um fator primo ímpar de
5^25 + 1
O conteúdo que vamos usar é a fatoração de soma de potências ímpares, em particular a fórmula
a^5 + 1 = (a+1)l(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1r),
aplicada ao caso a = 5^5.

Passo 2

Note que
5^25 = l(5^5r)^5
Definindo A = 5^5, temos
5^25 + 1 = A^5 + 1
Pela fórmula de soma de quinta potência,
A^5 + 1 = (A+1)l(A^4 - A^3 + A^2 - A + 1r)

Passo 3

Calculemos o primeiro fator:
A + 1 = 5^5 + 1 = 3125 + 1 = 3126
Assim
5^25 + 1 = 3126 times l(3125^4 - 3125^3 + 3125^2 - 3125 + 1r)

Passo 4

Fatoramos 3126 em primos:
3126 = 2 times 1563, 1563 = 3 times 521
O número 521 é primo e é ímpar.

Resposta

Um fator primo ímpar de 5^25+1 é 521.

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