Prove que para qualquer inteiro y vale que y^3 equiv y(bmod 6).

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, para todo inteiro y, vale a congruência
y^3 equiv y pmod6
Ou seja, precisamos provar que 6 divide y^3 - y. O conteúdo envolve noções de fatoração e de divisibilidade em inteiros.

Passo 2

Observe que podemos fatorar a diferença:
y^3 - y = y,(y^2-1) = y,(y-1),(y+1)
Portanto, y^3 - y é o produto de três inteiros consecutivos: y-1, y e y+1.

Passo 3

Em qualquer trinca de inteiros consecutivos, um deles é par. Logo, entre y-1, y e y+1 há um múltiplo de 2. Assim,
2 mid (y-1),(y),(y+1)

Passo 4

Também em três inteiros consecutivos há exatamente um múltiplo de 3. Portanto,
3 mid (y-1),(y),(y+1)

Passo 5

Como os fatores 2 e 3 são primos distintos e ambos dividem (y-1)y(y+1), segue que
6 = 2cdot 3 mid (y-1),y,(y+1) = y^3 - y
Isto mostra que y^3 - y é múltiplo de 6, ou seja
y^3 equiv y pmod6

Resposta

y^3equiv ypmod6.

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