Prove que para qualquer inteiro
vale que
.
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que, para todo inteiro
, vale a congruência
Ou seja, precisamos provar que
divide
. O conteúdo envolve noções de fatoração e de divisibilidade em inteiros.
Passo 2
Observe que podemos fatorar a diferença:
Portanto,
é o produto de três inteiros consecutivos:
,
e
.
Passo 3
Em qualquer trinca de inteiros consecutivos, um deles é par. Logo, entre
,
e
há um múltiplo de
. Assim,
Passo 4
Também em três inteiros consecutivos há exatamente um múltiplo de
. Portanto,
Passo 5
Como os fatores
e
são primos distintos e ambos dividem
, segue que
Isto mostra que
é múltiplo de
, ou seja