Prove que para qualquer inteiro x vale que x^3 equiv 0,1 ou 8(bmod 9).

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para qualquer inteiro x,
x^3equiv 0,1 ou 8pmod9
O conteúdo envolve aritmética modular: vamos usar o algoritmo da divisão para classificar x em resíduos de 3 e calcular o cubo em cada caso.

Passo 2

Pelo algoritmo da divisão, todo inteiro x pode ser escrito como
x=3k, x=3k+1ou x=3k+2,
onde k é inteiro. Note que
3k+2equiv -1pmod3,
logo só precisamos tratar os casos
xequiv 0,;1,;-1pmod3

Passo 3

Calculamos x^3 em cada caso e reduzimos módulo 9:
Caso x=3k:
(3k)^3 = 27k^3 = 9l(3k^3r)equiv 0pmod9
Caso x=3k+1:
(3k+1)^3 = 27k^3 +27k^2 +9k +1 =9l(3k^3+3k^2+kr)+1equiv 1pmod9
Caso x=3k-1 (correspondente a 3k+2):
(3k-1)^3 = 27k^3 -27k^2 +9k -1 =9l(3k^3-3k^2+kr)-1equiv -1equiv 8pmod9

Passo 4

Dos três casos acima, vemos que as únicas classes possíveis de x^3 módulo 9 são
0, 1, 8

Resposta

Portanto, para todo inteiro x vale
x^3equiv 0,1 ou 8pmod9,
como era para ser provado.

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