Prove que para qualquer inteiro
vale que
ou
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para qualquer inteiro
,
O conteúdo envolve aritmética modular: vamos usar o algoritmo da divisão para classificar
em resíduos de 3 e calcular o cubo em cada caso.
Passo 2
Pelo algoritmo da divisão, todo inteiro
pode ser escrito como
onde
é inteiro. Note que
logo só precisamos tratar os casos
Passo 3
Calculamos
em cada caso e reduzimos módulo 9:
Caso
:
Caso
:
Caso
(correspondente a
):
Passo 4
Dos três casos acima, vemos que as únicas classes possíveis de
módulo 9 são
Resposta
Portanto, para todo inteiro
vale
como era para ser provado.