Mostre que todo número primo p>2 é congruente módulo 4 a 1 ou a 3 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se p é um número primo e p>2, então
p equiv 1 pmod4 ou p equiv 3 pmod4
O conteúdo aqui é noções básicas de números ímpares e resíduos módulo 4.

Passo 2

Como p>2 é primo, não pode ser divisível por 2. Logo, p é ímpar e pode ser escrito como
p = 2k + 1
para algum inteiro k.

Passo 3

Vamos observar p módulo 4. Como k é inteiro, existem dois casos para k em relação a 2:
  1. Se k = 2m para algum inteiro m, então p = 2(2m) + 1 = 4m + 1 Longrightarrow p equiv 1 pmod4
  2. Se k = 2m+1 para algum inteiro m, então p = 2(2m+1) + 1 = 4m + 3 Longrightarrow p equiv 3 pmod4

Resposta

Como todo primo p>2 é ímpar, ele só pode cair em um dos dois casos acima, de onde vem imediatamente
p equiv 1 pmod4 ou p equiv 3 pmod4

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