Determine f+g, f-g, f \cdot g e f / g, se
f(x)=x+1, g(x)=x^{2}-1

Passo 1

O enunciado dá duas funções f(x)=x+1 e g(x)=x^{2}-1
e pede as quatro operações básicas entre elas: soma, diferença, produto e quociente. Para isso vamos usar que, por definição, (f+g)(x)=f(x)+g(x), (f-g)(x)=f(x)-g(x), (f\cdot g)(x)=f(x)\,g(x) e \bigl(\tfrac{f}{g}\bigr)(x)=\tfrac{f(x)}{g(x)}, lembrando que no quociente é preciso exigir g(x)\neq0.

Passo 2

Para a soma aplicamos
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x+1)+(x^{2}-1).
Somando os termos semelhantes,
(f+g)(x)=x^{2}+x.

Passo 3

Para a diferença aplicamos
(f-g)(x)=f(x)-g(x)=(x+1)-(x^{2}-1).
Distribuindo o sinal e somando,
(f-g)(x)=-x^{2}+x+2.

Passo 4

Para o produto aplicamos
(f\cdot g)(x)=f(x)\,g(x)=(x+1)\,(x^{2}-1).
Fazendo o produto de binômios,
(x+1)(x^{2}-1)=x^{3}-x+x^{2}-1=x^{3}+x^{2}-x-1.
Logo
(f\cdot g)(x)=x^{3}+x^{2}-x-1.

Passo 5

Para o quociente aplicamos
\bigl(\tfrac{f}{g}\bigr)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x+1}{x^{2}-1},
mas aqui precisamos de g(x)\neq0, ou seja x^{2}-1\neq0 e portanto x\neq\pm1. Além disso, como x^{2}-1=(x-1)(x+1), podemos simplificar para
\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x-1},
mantendo a restrição x\neq\pm1.

Resposta

(f+g)(x)=x^{2}+x (f-g)(x)=-x^{2}+x+2 (f\cdot g)(x)=x^{3}+x^{2}-x-1 \displaystyle\frac{f}{g}(x)=\frac{1}{x-1},\quad x\neq\pm1

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