Esboce os gráficos das seguintes funções.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
O conteúdo envolvido é estudo de curvas de polinômios: vamos analisar domínio, imagem, interceptos, simetria, monotonicidade e concavidade para depois descrever o esboço.
Passo 2
Determinar domínio e imagem. Como se trata de um polinômio de grau 4, o domínio é
Para a imagem, note que para todo
, logo
Para a imagem, note que
isto é, a imagem é
Passo 3
Verificar interceptos e simetria. O único ponto em que
não ocorre, mas o intercepto com o eixo
é
portanto o gráfico cruza o eixo
em
. Como
a função é par, logo o gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 4
Analisar monotonicidade pelo sinal de
. Calculamos
Para
,
(a função decresce); para
,
(aumenta); em
, há extremo mínimo global. Assim o ponto
é único mínimo.
Passo 5
Analisar concavidade via
.
para todo
. Isso mostra que o gráfico é sempre côncavo para cima, sem inflexões, ficando mais “aberto” conforme nos afastamos de zero.
Passo 6
Descrever o esboço. O gráfico é uma curva em U, mais “achatada” perto de
(com mínimo em
) e subindo rapidamente para
nos dois lados, simétrica em relação ao eixo
.
Resposta
O gráfico de
, é uma curva em U, mínima em
, definida para todo
, com imagem
, simétrica em relação ao eixo
, decrescente em
, crescente em
e sempre côncava para cima.