Esboce os gráficos das seguintes funções.
f(x)=x^{4}+2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x)=x^{4}+2.
O conteúdo envolvido é estudo de curvas de polinômios: vamos analisar domínio, imagem, interceptos, simetria, monotonicidade e concavidade para depois descrever o esboço.

Passo 2

Determinar domínio e imagem. Como se trata de um polinômio de grau 4, o domínio é \mathbb{R}.
Para a imagem, note que x^{4}\ge0 para todo x, logo
f(x)=x^{4}+2\ge2,
isto é, a imagem é
[2,\infty).

Passo 3

Verificar interceptos e simetria. O único ponto em que f(x)=0 não ocorre, mas o intercepto com o eixo y é
f(0)=0^{4}+2=2,
portanto o gráfico cruza o eixo y em (0,2). Como
f(-x)=(-x)^{4}+2=x^{4}+2=f(x),
a função é par, logo o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 4

Analisar monotonicidade pelo sinal de f'(x). Calculamos
f'(x)=4x^{3}.
Para x<0, f'(x)<0 (a função decresce); para x>0, f'(x)>0 (aumenta); em x=0, há extremo mínimo global. Assim o ponto (0,2) é único mínimo.

Passo 5

Analisar concavidade via f''(x).
f''(x)=12x^{2}\ge0
para todo x. Isso mostra que o gráfico é sempre côncavo para cima, sem inflexões, ficando mais “aberto” conforme nos afastamos de zero.

Passo 6

Descrever o esboço. O gráfico é uma curva em U, mais “achatada” perto de x=0 (com mínimo em (0,2)) e subindo rapidamente para +\infty nos dois lados, simétrica em relação ao eixo y.

Resposta

O gráfico de \,f(x)=x^{4}+2, é uma curva em U, mínima em (0,2), definida para todo x, com imagem [2,\infty), simétrica em relação ao eixo y, decrescente em (-\infty,0), crescente em (0,\infty) e sempre côncava para cima.

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