Determine g \circ f se
f(x)=\frac{x}{1+x}, \quad g(x)=\frac{x+1}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede para achar a composição (g\circ f)(x), ou seja, aplicar primeiro \displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x}
e depois no resultado aplicar \displaystyle g(u)=\frac{u+1}{u-1}.

Passo 2

Pela definição de composição temos
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr) =\frac{\,f(x)+1\,}{\,f(x)-1\,}.

Passo 3

Vamos calcular separadamente
f(x)+1=\frac{x}{1+x}+1 =\frac{x+(1+x)}{1+x} =\frac{2x+1}{1+x},
f(x)-1=\frac{x}{1+x}-1 =\frac{x-(1+x)}{1+x} =\frac{-1}{1+x}.

Passo 4

Substituindo na fração,
(g\circ f)(x) =\frac{\displaystyle\frac{2x+1}{1+x}} {\displaystyle\frac{-1}{1+x}} =\frac{2x+1}{1+x}\times\frac{1+x}{-1} =-(2x+1).

Resposta

(g\circ f)(x)=-2x-1, com x\neq -1.

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