Determine o fluxo de
através de S. .
é a superfície do sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
através da superfície fechada S que envolve o volume V limitado pelo paraboloide
e pelo plano
. Como S é fechada, é natural usar o Teorema da Divergência (ou de Gauss) para converter a integral de superfície numa integral de volume sobre
.
Passo 2
Primeiro calculamos a divergência de
:
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência temos
Passo 4
Para calcular o integral triplo, mudamos para coordenadas cilíndricas:
Passo 5
O volume V é dado por
e
, com
. Assim montamos:
Passo 6
Calculando a integral em
:
Passo 7
Substituindo na integral em
e depois em
: