Determine o fluxo de F através de S. .
F(x, y, z)=(cos z+x y^2) i+x e^-z j+(sen y+x^2 z) k, S é a superfície do sólido limitado pelo paraboloide z=x^2+y^2 e pelo plano z=4 cdot 32 pi3

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial vec F(x,y,z)=(cos z+xy^2),vec i + x e^-z,vec j + (sin y + x^2 z),vec k através da superfície fechada S que envolve o volume V limitado pelo paraboloide z=x^2+y^2 e pelo plano z=4. Como S é fechada, é natural usar o Teorema da Divergência (ou de Gauss) para converter a integral de superfície numa integral de volume sobre V.

Passo 2

Primeiro calculamos a divergência de vec F:
nablacdotvec F=partialpartial x(cos z+xy^2)+partialpartial y(x e^-z)+partialpartial z(sin y + x^2 z)=y^2+0+x^2=x^2+y^2

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência temos
nabla!cdot!vec F,=integral duplaSvec Fcdot dvec S =integral triplaV(x^2+y^2),dV

Passo 4

Para calcular o integral triplo, mudamos para coordenadas cilíndricas:
x=rcostheta, y=rsintheta, z=z, dV=r,dr,dtheta,dz, x^2+y^2=r^2

Passo 5

O volume V é dado por 0<= z<= 4 e 0<= r<=raiz z, com 0<=theta<=2pi. Assim montamos:
integral triplaV(x^2+y^2),dV=integral0^2piintegral0^4integral0^raiz zr^2,(r,dr),dz,dtheta=integral0^2pidthetaintegral0^4l(integral0^raiz zr^3drr)dz

Passo 6

Calculando a integral em r:
integral0^raiz zr^3dr=(raiz z)^44=z^24

Passo 7

Substituindo na integral em z e depois em theta:
integral0^2pidthetaintegral0^4z^24dz=2picdot14cdot4^33=2picdot6412=32pi3

Resposta

32pi3

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