Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde
é o triângulo de vértices
.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral usando o Teorema de Green. A curva
que estamos considerando é um triângulo com vértices em
,
e
, e está orientada no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que é uma ferramenta poderosa para transformar integrais de linha em integrais duplas sobre uma região.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada
e uma região
que ela delimita, a integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla da seguinte forma:
No nosso caso, identificamos que:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula do Teorema de Green:
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
Legal! A expressão dentro da integral dupla simplifica para 1.
Passo 5
Então, a integral de linha original se transforma em:
Isso significa que precisamos calcular apenas a área da região
delimitada pelo triângulo.
Passo 6
Vamos calcular a área do triângulo com vértices em
,
e
. A base do triângulo é de 3 unidades e a altura é de 6 unidades. A fórmula da área é: