Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
ointC-ln (1+y) d x+x y1+y d y
onde C é o triângulo de vértices (0,0),(3,0),(0,6).
Resposta: square

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral usando o Teorema de Green. A curva C que estamos considerando é um triângulo com vértices em (0,0), (3,0) e (0,6), e está orientada no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que é uma ferramenta poderosa para transformar integrais de linha em integrais duplas sobre uma região.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada C e uma região D que ela delimita, a integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla da seguinte forma:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
No nosso caso, identificamos que:
P = -ln(1+y) e Q = x y1+y

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula do Teorema de Green:
  1. Derivada parcial de Q em relação a x:
partial Qpartial x = partialpartial x ( x y1+y ) = y1+y
  1. Derivada parcial de P em relação a y:
partial Ppartial y = partialpartial y ( -ln(1+y) ) = -11+y

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = y1+y - ( -11+y ) = y + 11+y = 1
Legal! A expressão dentro da integral dupla simplifica para 1.

Passo 5

Então, a integral de linha original se transforma em:
integral duplaD 1 , dA
Isso significa que precisamos calcular apenas a área da região D delimitada pelo triângulo.

Passo 6

Vamos calcular a área do triângulo com vértices em (0,0), (3,0) e (0,6). A base do triângulo é de 3 unidades e a altura é de 6 unidades. A fórmula da área é:
Área = base times aÁ

Resposta

9 square

Exercícios relacionados