Considere a função de expressão f(x)=e^x1+x.
Verifique que f^prime(x)=x e^x(1+x)^2 e f^prime prime(x)=(x^2+1) e^x(1+x)^3.

Passo 1

O enunciado pede para verificar as derivadas primeira e segunda de f(x)=e^x1+x. Vamos usar a regra do quociente (e, no segundo passo, também a regra do produto) para derivadas de funções.

Passo 2

Para calcular f'(x), defina u(x)=e^x e v(x)=1+x. Então u'(x)=e^x e v'(x)=1. Aplicando a regra do quociente:
f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2=e^x(1+x)-e^xcdot1(1+x)^2=e^x(x+1-1)(1+x)^2=x e^x(1+x)^2

Passo 3

Para calcular f''(x), trate f'(x)=x e^x(1+x)^2 como uma nova quociente com U(x)=x e^x e V(x)=(1+x)^2. Então
  • U'(x)=e^x+ x e^x=e^x(x+1),
  • V'(x)=2(1+x).
    De novo pela regra do quociente:
f''(x)=U'(x)V(x)-U(x)V'(x)[V(x)]^2=e^x(x+1)(1+x)^2 - x e^x cdot2(1+x)(1+x)^4
Fatorando e^x(1+x) no numerador:
f''(x)=e^x(1+x)[(1+x)^2-2x](1+x)^4=e^x(1+x)(1+2x+x^2-2x)(1+x)^4=(x^2+1)e^x(1+x)^3

Resposta

As derivadas são f'(x)=x e^x(1+x)^2 e f''(x)=(x^2+1)e^x(1+x)^3.

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