Optou-se pela mudança de variável x=u+v, y=2 v e z=3 w para resolver a integral: integral0^3 integral0^4 integraly2^1+y2 f(x, y, z) d x d y d z, onde f(x, y)=2 x-y2+z3, determine:
A expressão da integral em relação às novas variáveis.

Passo 1

Entendendo o Problema
Vamos resolver uma integral tripla usando uma mudança de variável. A integral original é:
integral0^3 integral0^4 integraly2^1+y2 ( 2x - y2 + z3 ) dx , dy , dz
A mudança de variável proposta é:
x = u + v, y = 2v, z = 3w
Para resolver essa integral, vamos precisar:
  1. Encontrar a matriz jacobiana da transformação.
  2. Expressar a função integranda em termos das novas variáveis $ u, v, w $.
  3. Determinar os novos limites de integração para $ u, v, w $.
  4. Reescrever a integral usando as novas variáveis e a matriz jacobiana.

Passo 2

Encontrando a Matriz Jacobiana
A matriz jacobiana é usada para ajustar a integral quando fazemos uma mudança de variável. Ela é definida como:
J = partial xpartial u & partial xpartial v & partial xpartial w partial ypartial u & partial ypartial v & partial ypartial w partial zpartial u & partial zpartial v & partial zpartial w
Calculando as derivadas parciais:
partial xpartial u = 1, partial xpartial v = 1, partial xpartial w = 0
partial ypartial u = 0, partial ypartial v = 2, partial ypartial w = 0
partial zpartial u = 0, partial zpartial v = 0, partial zpartial w = 3
Assim, a matriz jacobiana fica:
J = 1 & 1 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3
O determinante de $ J $ é:
J

Passo 3

Expressando a Função Integranda nas Novas Variáveis
A função original é:
f(x, y, z) = 2x - y2 + z3
Substituindo as novas variáveis:
x = u + v, y = 2v, z = 3w
Temos:
f(u, v, w) = 2(u + v) - 2v2 + 3w3 = 2u + 2v - 2v2 + w = u + w

Passo 4

Determinando os Novos Limites de Integração
Vamos transformar os limites originais para as novas variáveis.
  1. Para $ z $:
    z
  2. Para $ y $:
    0 <= z <= 3 Rightarrow 0 <= 3w <= 3 Rightarrow 0 <= w <= 1
  3. Para $ x $:
    y
    Subtraindo $ v $ de todas as partes:
    0 <= y <= 4 Rightarrow 0 <= 2v <= 4 Rightarrow 0 <= v <= 2

Passo 5

Reescrevendo a Integral nas Novas Variáveis
Agora que temos a função integranda e os limites nas novas variáveis, além do determinante da matriz jacobiana, podemos montar a nova expressão da integral:
integralw=0^1 integralv=0^2 integralu=0^1 f(u, v, w) times |J| , du , dv , dw = integral0^1 integral0^2 integral0^1 (u + w) times 6 , du , dv , dw

Resposta

A expressão da integral nas novas variáveis é:
integral0^1 integral0^2 integral0^1 6(u + w) , du , dv , dw

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