Optou-se pela mudança de variável
para resolver a integral:
, onde
, determine:
A expressão da integral em relação às novas variáveis.
A expressão da integral em relação às novas variáveis.
Passo 1
Entendendo o Problema
Vamos resolver uma integral tripla usando uma mudança de variável. A integral original é:
A mudança de variável proposta é:
Para resolver essa integral, vamos precisar:
- Encontrar a matriz jacobiana da transformação.
- Expressar a função integranda em termos das novas variáveis $ u, v, w $.
- Determinar os novos limites de integração para $ u, v, w $.
- Reescrever a integral usando as novas variáveis e a matriz jacobiana.
Passo 2
Encontrando a Matriz Jacobiana
A matriz jacobiana é usada para ajustar a integral quando fazemos uma mudança de variável. Ela é definida como:
Calculando as derivadas parciais:
Assim, a matriz jacobiana fica:
O determinante de $ J $ é:
Passo 3
Expressando a Função Integranda nas Novas Variáveis
A função original é:
Substituindo as novas variáveis:
Temos:
Passo 4
Determinando os Novos Limites de Integração
Vamos transformar os limites originais para as novas variáveis.
-
Para $ z $:
z -
Para $ y $:
0 <= z <= 3 Rightarrow 0 <= 3w <= 3 Rightarrow 0 <= w <= 1 -
Para $ x $:
y Subtraindo $ v $ de todas as partes:0 <= y <= 4 Rightarrow 0 <= 2v <= 4 Rightarrow 0 <= v <= 2
Passo 5
Reescrevendo a Integral nas Novas Variáveis
Agora que temos a função integranda e os limites nas novas variáveis, além do determinante da matriz jacobiana, podemos montar a nova expressão da integral:
Resposta
A expressão da integral nas novas variáveis é: