(2,5) Determine o fluxo de F através de S onde
F(x, y, z)=(5 x-z) i+(9 y-x) j+(23 z-y) k
S é a superficie do cilindro x^2+y^2=4, z=0 e z=1.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar o fluxo do campo vetorial F através da superfície S, que é a superfície de um cilindro definido por x^2 + y^2 = 4 entre z = 0 e z = 1.
Conteúdo da matéria: Fluxo de campos vetoriais através de superfícies.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é fluxo de um campo vetorial.
  • Utilizar o teorema de Gauss (ou divergência) para facilitar o cálculo.
  • Calcular a divergência do campo F.
  • Calcular o volume delimitado pela superfície S.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o fluxo de um campo vetorial. O fluxo através de uma superfície S é uma medida de quanta “quantidade” do campo F está atravessando essa superfície. Matematicamente, é dado por:
Fluxo = integral duplaS F cdot n , dS
onde n é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Calcular diretamente o fluxo pode ser trabalhoso, especialmente para superfícies complexas. Por isso, vamos usar o Teorema de Gauss, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo no volume interno:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Isso simplifica nosso trabalho, pois só precisamos calcular a divergência de F e o volume V delimitado por S.

Passo 4

Vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial F = Pi + Qj + Rk é dada por:
nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
Para o nosso campo:
F(x, y, z) = (5x - z)i + (9y - x)j + (23z - y)k
Portanto:
partial Ppartial x = partial (5x - z)partial x = 5
partial Qpartial y = partial (9y - x)partial y = 9
partial Rpartial z = partial (23z - y)partial z = 23
Assim, a divergência é:
nabla cdot F = 5 + 9 + 23 = 37

Passo 5

Agora, vamos calcular o volume V do cilindro x^2 + y^2 = 4 entre z = 0 e z = 1.
A base do cilindro tem raio r = 2 (pois x^2 + y^2 = 2^2).
O volume de um cilindro é dado por:
V = pi r^2 h
onde h é a altura.
Substituindo os valores:
V = pi (2)^2 times 1 = pi times 4 times 1 = 4pi

Passo 6

Agora, aplicamos o Teorema de Gauss:
Fluxo = integral triplaV nabla cdot F , dV = nabla cdot F times V = 37 times 4pi = 148pi

Resposta

O fluxo de F através de S é 148pi.

Exercícios relacionados