Determine o fluxo de
através de
onde
é a superficie do cilindro
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar o fluxo do campo vetorial
através da superfície
, que é a superfície de um cilindro definido por
entre
e
.
Conteúdo da matéria: Fluxo de campos vetoriais através de superfícies.
O que vamos precisar:
- Entender o que é fluxo de um campo vetorial.
- Utilizar o teorema de Gauss (ou divergência) para facilitar o cálculo.
- Calcular a divergência do campo
. - Calcular o volume delimitado pela superfície
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o fluxo de um campo vetorial. O fluxo através de uma superfície
é uma medida de quanta “quantidade” do campo
está atravessando essa superfície. Matematicamente, é dado por:
onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Calcular diretamente o fluxo pode ser trabalhoso, especialmente para superfícies complexas. Por isso, vamos usar o Teorema de Gauss, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo no volume interno:
Isso simplifica nosso trabalho, pois só precisamos calcular a divergência de
e o volume
delimitado por
.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Para o nosso campo:
Portanto:
Assim, a divergência é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o volume
do cilindro
entre
e
.
A base do cilindro tem raio
(pois
).
O volume de um cilindro é dado por:
onde
é a altura.
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, aplicamos o Teorema de Gauss:
Resposta
O fluxo de
através de
é
.