Determine o fluxo de
atravês do
onde
é a superficie do cilindro
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
. Essa superfície
é composta pelo cilindro definido por
entre
e
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é fluxo de um campo vetorial através de uma superfície e como calcular isso usando um pouco de cálculo vetorial, especialmente o Teorema da Divergência. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o fluxo. O fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície
mede a quantidade de “fluido” que passa por
. Matematicamente, é dado por:
Onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Calcular isso diretamente pode ser trabalhoso, especialmente para superfícies fechadas como o cilindro que temos aqui. Por isso, podemos usar o Teorema da Divergência, que simplifica as coisas. Esse teorema diz que:
Ou seja, o fluxo através de
é igual ao volume integral da divergência de
sobre o volume
delimitado por
.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a divergência de
. A divergência é definida como:
Onde
,
,
.
Passo 5
Vamos derivar cada componente:
Então, a divergência de
é:
Passo 6
Agora, precisamos calcular o volume integral da divergência sobre o cilindro. Nosso cilindro tem
e
.
O integral fica:
Passo 7
Vamos calcular o volume do cilindro. A fórmula do volume de um cilindro é:
Aqui,
é o raio da base e
é a altura. No nosso caso,
implica que
, e
.
Então:
Passo 8
Agora, voltando ao fluxo:
Resposta
O fluxo de
através da superfície
é
.