Determine o fluxo de F atravês do S onde
F(x, y, z)=(1 x-z) i+(8 y-x) j+(25 z-y) k
S é a superficie do cilindro x^2+y^2=9, z=0 e z=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = (1x - z)i + (8y - x)j + (25z - y)k através da superfície S. Essa superfície S é composta pelo cilindro definido por x^2 + y^2 = 9 entre z = 0 e z = 1.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é fluxo de um campo vetorial através de uma superfície e como calcular isso usando um pouco de cálculo vetorial, especialmente o Teorema da Divergência. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o fluxo. O fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície S mede a quantidade de “fluido” que passa por S. Matematicamente, é dado por:
Fluxo = integral duplaS F cdot n , dS
Onde n é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Calcular isso diretamente pode ser trabalhoso, especialmente para superfícies fechadas como o cilindro que temos aqui. Por isso, podemos usar o Teorema da Divergência, que simplifica as coisas. Esse teorema diz que:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Ou seja, o fluxo através de S é igual ao volume integral da divergência de F sobre o volume V delimitado por S.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a divergência de F. A divergência é definida como:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Onde Fx = 1x - z, Fy = 8y - x, Fz = 25z - y.

Passo 5

Vamos derivar cada componente:
partial Fxpartial x = partial (1x - z)partial x = 1
partial Fypartial y = partial (8y - x)partial y = 8
partial Fzpartial z = partial (25z - y)partial z = 25
Então, a divergência de F é:
nabla cdot F = 1 + 8 + 25 = 34

Passo 6

Agora, precisamos calcular o volume integral da divergência sobre o cilindro. Nosso cilindro tem x^2 + y^2 <= 9 e 0 <= z <= 1.
O integral fica:
integral triplaV 34 , dV = 34 times Volume do cilindro

Passo 7

Vamos calcular o volume do cilindro. A fórmula do volume de um cilindro é:
Volume = pi r^2 h
Aqui, r é o raio da base e h é a altura. No nosso caso, x^2 + y^2 = 9 implica que r = 3, e h = 1.
Então:
Volume = pi times 3^2 times 1 = 9pi

Passo 8

Agora, voltando ao fluxo:
Fluxo = 34 times 9pi = 306pi

Resposta

O fluxo de F através da superfície S é 306pi.

Exercícios relacionados