Suponha que desejamos calcular o fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície S fechada por meio do cálculo de uma integral tripla, aplicando, nesse caso, o teorema de Gauss. Para isso, precisamos representar adequadamente a regiāo de integração, bem como estudar o divergente do campo vetorial em questão.
Com base nesse tema, seja a superficie S representada pelo paralelepípedo limitado pelos planos de equações x=-1, x=1, y=-1, y=2, z=0 e z=3. Além disso, considere que o campo vetorial seja dado por:
F(x, y, z)=(y+x) I+(z+y) J+(y+x) k
Considerando a aplicação do teorema de Gauss, qual das seguintes alternativas indica corretamente a integral tripla que deve ser calculada para avaliar o fluxo do campo F através de S?
A. A associação correta é integral duplaS F cdot n d S=integral-1^1 integral-1^2 integral0^3 2 d z d y d x
B. A associação correta é integral duplaS F cdot n d S=integral-1^1 integral-1^2 integral0^3(x+y) d z d y d x
c. A associação correta é integral duplaS F cdot n d S=integral-1^1 integral-1^2 integral0^3 d x d z d y
D. A associação correta é integral duplaS F cdot n d S=integral-1^1 integral-1^2 integral0^3 4 x d z d y d x
E. A associação correta ė integral duplaS F cdot n d S=integral-1^1 integral-1^2 integral0^3(x+y+z) d x d y d z

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para calcular o fluxo de um campo vetorial F(x, y, z) = (x + y) I + (y + z) J + (x + y) k através de uma superfície fechada usando o Teorema de Gauss. A superfície é um paralelepípedo limitado pelos planos , , , , e . O campo vetorial dado é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Gauss e calcular a divergência do campo .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial div , F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z . A divergência é dada por:
partial Fxpartial x = partial (x + y)partial x = 1
Onde partial Fypartial y = partial (y + z)partial y = 1 , partial Fzpartial z = partial (x + y)partial z = 0 e div , F = 1 + 1 + 0 = 2 .
Calculando cada derivada parcial:
Então,

Passo 3

Agora, aplicando o Teorema de Gauss, o fluxo -1 <= x <= 1 através da superfície -1 <= y <= 2 é igual à integral tripla da divergência de 0 <= z <= 3 sobre a região delimitada por integral triplaV div , F , dV = integral-1^1 integral-1^2 integral0^3 2 , dz , dy , dx .
As fronteiras de integração são:
Então, a integral tripla fica:

Resposta

A alternativa correta é a A:
integral duplaS F cdot n , dS = integral-1^1 integral-1^2 integral0^3 2 , dz , dy , dx

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