Suponha que desejamos calcular o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície
fechada por meio do cálculo de uma integral tripla, aplicando, nesse caso, o teorema de Gauss. Para isso, precisamos representar adequadamente a regiāo de integração, bem como estudar o divergente do campo vetorial em questão.
Com base nesse tema, seja a superficie
representada pelo paralelepípedo limitado pelos planos de equações
e
. Além disso, considere que o campo vetorial seja dado por:
Considerando a aplicação do teorema de Gauss, qual das seguintes alternativas indica corretamente a integral tripla que deve ser calculada para avaliar o fluxo do campo F através de
?
A. A associação correta é
B. A associação correta é
c. A associação correta é
D. A associação correta é
E. A associação correta ė
Com base nesse tema, seja a superficie
A. A associação correta é
B. A associação correta é
c. A associação correta é
D. A associação correta é
E. A associação correta ė
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para calcular o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície fechada
usando o Teorema de Gauss. A superfície
é um paralelepípedo limitado pelos planos
,
,
,
,
e
. O campo vetorial dado é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Gauss e calcular a divergência do campo
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência é dada por:
Onde
,
e
.
Calculando cada derivada parcial:
Então,
Passo 3
Agora, aplicando o Teorema de Gauss, o fluxo
através da superfície
é igual à integral tripla da divergência de
sobre a região delimitada por
.
As fronteiras de integração são:
Então, a integral tripla fica:
Resposta
A alternativa correta é a A: