Exame - Data: 11/12/2024
CDI1001 - Cálculo Diferencial e Integral 1 - Turma PRO242-01U
Prof. Bruno Vinicio do Vale
Aluno:
Instruções:
  • A prova é individual e sem consulta. Pode ser feita a lápis.
  • Respostas sem justificativas não são consideradas. Devem ser utilizados conceitos vistos em aula.
  1. (1,5 ponto) Seja a função f: R R, f(x)=5^x-4:
    (b) A função é sobrejetora? Por quê? Se não for, faça as devidas restrições para ser sobrejetora.

Passo 1

O enunciado pede para analisar se a função f: ℝ → ℝ dada por f(x)=5^x−4 é sobrejetora e, caso não seja, indicar qual restrição devemos impor para torná-la sobrejetora. O conteúdo aqui é definição de sobrejetividade: f é sobrejetora se, para todo valor y no contradomínio, existe x tal que f(x)=y.

Passo 2

Lembrando que f é sobrejetora (ou “sobre”) quando, para todo y no contradomínio, existe pelo menos um x no domínio tal que f(x)=y. Ou seja, queremos verificar se Im(f)=ℝ.

Passo 3

Para encontrar a imagem de f, igualamos y=f(x):
y=5^x - 4

Passo 4

Isolando 5^x, temos
5^x = y + 4
Como 5^x é sempre positivo para todo x∈ℝ, precisamos de y+4>0, ou seja y>−4. Isso mostra que f nunca atinge valores ≤−4.

Passo 5

Logo,
Im(f)=5^x-4mid xinR=(-4,infty)

Passo 6

Como o contradomínio original é ℝ, mas a imagem efetiva é apenas (−4,∞), f não é sobrejetora em ℝ.
Para que f se torne sobrejetora, basta redefinir o contradomínio igual à sua imagem. Ou seja, definir f: ℝ→(−4,∞).

Resposta

A função não é sobrejetora de ℝ em ℝ porque seus valores cobrem somente (−4,∞). Para torná-la sobrejetora, basta restringir o contradomínio para (−4,∞), isto é, f: ℝ→(−4,∞).

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