Calcule a integral de superfície do campo F sobre a superfície dada:
F(x, y, z)=\left(z^{2}, x,-3 z\right) e S é a parte do cilindro parabólico z=4-y^{2} cortado pelos pelanos x=0, x=1, z=0.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
F(x,y,z) = \bigl(z^2,\;x,\;-3z\bigr)
através da porção da superfície parabólica
S:\;z = 4 - y^2
limitada pelos planos x=0, x=1 e z=0.
Para resolver usamos parametrização de superfícies e a fórmula do fluxo
\iint_S F\cdot n\,dS = \iint_D F\bigl(r(u,v)\bigr)\cdot\bigl(r_u\times r_v\bigr)\,du\,dv.

Passo 2

Parametrizamos S por
r(x,y) = \bigl(x,\;y,\;4-y^2\bigr),
com o domínio em (x,y):
0 \le x \le 1, \quad -2 \le y \le 2
(pois z=4-y^2\ge0 exige |y|\le2).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e o vetor normal parametrizado:
r_x = (1,0,0), \quad r_y = (0,1,-2y).
O produto vetorial fica
r_x \times r_y = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & -2y \end{vmatrix} = (0,\;2y,\;1).

Passo 4

Substituímos na integral de fluxo:
\iint_S F\cdot n\,dS =\int_{x=0}^{1}\!\!\int_{y=-2}^{2} F\bigl(x,y,4-y^2\bigr)\cdot(0,2y,1)\,dy\,dx.
Em \;z=4-y^2 temos
F\bigl(x,y,4-y^2\bigr) =\bigl((4-y^2)^2,\;x,\;-3(4-y^2)\bigr) =(16-8y^2+y^4,\;x,\;-12+3y^2).
O produto escalar é
(16-8y^2+y^4)\cdot0 \;+\; x\cdot2y \;+\;(-12+3y^2)\cdot1 =2xy \;-\;12 \;+\;3y^2.

Passo 5

Agora integramos sobre D:
\iint_S F\cdot n\,dS =\int_{0}^{1}\int_{-2}^{2}\bigl(2xy-12+3y^2\bigr)\,dy\,dx.
Primeiro em y:
\int_{-2}^{2}2xy\,dy = 2x\Bigl[\tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{-2}^{2}=0, \quad \int_{-2}^{2}-12\,dy = -12\cdot4=-48,
\int_{-2}^{2}3y^2\,dy = 3\Bigl[\tfrac{y^3}{3}\Bigr]_{-2}^{2} = (8-(-8))=16.
Somando dá -48+16=-32. Por fim em x:
\int_{0}^{1}(-32)\,dx = -32.

Resposta

O fluxo de F através de S é -32.

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