Determine o fluxo do campo vetorial F=(x, y, 0) através da superfície exterior do sólido dado por x^2+y^2 <= 9 para 0 <= z <= 4 e após faça o cálculo usando o Teorema da Divergência. S: 72 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o fluxo do campo vetorial F = (x, y, 0) através da superfície externa de um sólido definido por x^2+y^2 <= 9 e 0 <= z <= 4. Vamos usar o Teorema da Divergência para resolver isso. Precisamos entender o que é fluxo, o que é o Teorema da Divergência e como aplicá-los nesse caso.

Passo 2

Primeiro, o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “algo” (como um fluido) que passa por essa superfície. Matemáticamente, é dado por:
integral duplaS F cdot n , dS
onde n é o vetor normal à superfície.

Passo 3

O Teorema da Divergência nos ajuda a converter esse fluxo através da superfície em uma integral tripla sobre o volume delimitado por essa superfície. A fórmula é:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Aqui, nabla cdot F é a divergência do campo vetorial F.

Passo 4

Vamos calcular a divergência de F = (x, y, 0). A divergência é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Calculando cada termo:
partial Fxpartial x = partial xpartial x = 1
partial Fypartial y = partial ypartial y = 1
partial Fzpartial z = partial 0partial z = 0
Então,
nabla cdot F = 1 + 1 + 0 = 2

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral tripla da divergência sobre o volume V do sólido definido por x^2 + y^2 <= 9 e 0 <= z <= 4. Esse sólido é um cilindro com raio 3 e altura 4.
Em coordenadas cilíndricas, onde x = rcostheta, y = rsintheta, e z = z, a integral se torna:
integral triplaV 2 , dV = 2 integral0^2pi integral0^3 integral0^4 r , dz , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integral em z:
integral0^4 dz = 4
  1. Integral em r:
integral0^3 r cdot 4 , dr = 4 integral0^3 r , dr = 4 [ r^22 ]0^3 = 4 ( 92 ) = 18
  1. Integral em theta:
integral0^2pi 18 , dtheta = 18 cdot 2pi = 36pi
Multiplicando pelos 2 da divergência:
2 cdot 36pi = 72pi

Resposta

O fluxo do campo vetorial F = (x, y, 0) através da superfície externa do sólido é 72pi.

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