Determine o fluxo do campo vetorial
através da superfície exterior do sólido dado por
para
após faça o cálculo usando o Teorema da Divergência. S:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o fluxo do campo vetorial
através da superfície externa de um sólido definido por
e
. Vamos usar o Teorema da Divergência para resolver isso. Precisamos entender o que é fluxo, o que é o Teorema da Divergência e como aplicá-los nesse caso.
Passo 2
Primeiro, o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “algo” (como um fluido) que passa por essa superfície. Matemáticamente, é dado por:
onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
O Teorema da Divergência nos ajuda a converter esse fluxo através da superfície em uma integral tripla sobre o volume delimitado por essa superfície. A fórmula é:
Aqui,
é a divergência do campo vetorial
.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
Calculando cada termo:
Então,
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral tripla da divergência sobre o volume
do sólido definido por
e
. Esse sólido é um cilindro com raio
e altura
.
Em coordenadas cilíndricas, onde
,
, e
, a integral se torna:
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Multiplicando pelos
da divergência:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície externa do sólido é
.