Verifique o Teorema de Stokes para a superfície limitada pelo paraboloide z
e o plano
, sendo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar o Teorema de Stokes para uma superfície delimitada pelo paraboloide
e o plano
. A função vetorial envolvida é
. O Teorema de Stokes basicamente conecta a integral de uma derivada vetorial (o rotacional de
) sobre uma superfície com a integral de
ao longo da borda dessa superfície. Para resolver, vamos fazer isso em duas partes: calcular a integral de superfície e a integral de linha, e depois comparar os resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície
. Ela é limitada pelo paraboloide
e pelo plano
. Isso significa que nossa superfície é a parte do paraboloide que vai do topo até onde ele intercepta o plano
. Para encontrar essa interseção, basta igualar
:
Então, a borda
da superfície
é o círculo de raio 3 no plano
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional de
, que é o
. A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
Vamos calcular cada componente:
Então, o rotacional fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de superfície do rotacional de
sobre
. A fórmula é:
Onde
é o vetor normal à superfície. Para simplificar, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que a superfície tem simetria circular.
A parametrização em coordenadas cilíndricas é:
O vetor normal
pode ser encontrado pelo produto vetorial dos vetores tangentes
e
:
Mas para simplificar, vamos considerar a orientação para que o vetor normal aponte para fora, e a área diferencial em coordenadas cilíndricas é
.
Então, a integral fica:
No entanto, devido à simetria, podemos simplificar diretamente a integral:
Onde
é o disco de raio 3.
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Primeiro, integra com relação a
:
Depois, integra com relação a
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral de linha ao redor da borda
da superfície
. A borda é o círculo
no plano
.
Usaremos parametrização em coordenadas cilíndricas:
Para
de
a
.
A derivada
é:
Substituindo na função
:
A integral de linha fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Sabemos que:
Então:
O primeiro termo é:
O segundo termo é zero, pois
.
Portanto, a integral de linha também é
.
Resposta
Assim, verificamos que tanto a integral de superfície quanto a integral de linha são iguais a
, confirmando o Teorema de Stokes para a superfície dada.