Verifique o Teorema de Stokes para a superfície limitada pelo paraboloide z =9- x^2-y^2 e o plano z=0, sendo F=(2 z, 3 x, 5 y) S: 27 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar o Teorema de Stokes para uma superfície delimitada pelo paraboloide e o plano . A função vetorial envolvida é . O Teorema de Stokes basicamente conecta a integral de uma derivada vetorial (o rotacional de ) sobre uma superfície com a integral de ao longo da borda dessa superfície. Para resolver, vamos fazer isso em duas partes: calcular a integral de superfície e a integral de linha, e depois comparar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície 9 - x^2 - y^2 = 0 implies x^2 + y^2 = 9 . Ela é limitada pelo paraboloide e pelo plano . Isso significa que nossa superfície é a parte do paraboloide que vai do topo até onde ele intercepta o plano . Para encontrar essa interseção, basta igualar :
Então, a borda da superfície é o círculo de raio 3 no plano .

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) , que é o partial Fzpartial y = partial (5y)partial y = 5 . A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
partial Fypartial z = partial (3x)partial z = 0
Vamos calcular cada componente:
partial Fxpartial z = partial (2z)partial z = 2
partial Fzpartial x = partial (5y)partial x = 0
partial Fypartial x = partial (3x)partial x = 3
partial Fxpartial y = partial (2z)partial y = 0
nabla times F = (5 - 0, 2 - 0, 3 - 0) = (5, 2, 3)
Então, o rotacional fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de superfície do rotacional de integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS sobre x = rcostheta, y = rsintheta, z = 9 - r^2 . A fórmula é:
rr = (costheta, sintheta, -2r)
Onde rtheta = (-rsintheta, rcostheta, 0) é o vetor normal à superfície. Para simplificar, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que a superfície tem simetria circular.
A parametrização em coordenadas cilíndricas é:
n = rr times rtheta = (2r^2costheta, 2r^2sintheta, r)
O vetor normal integral duplaS (5, 2, 3) cdot ( n|n| ) dS pode ser encontrado pelo produto vetorial dos vetores tangentes integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaD (5, 2, 3) cdot (0, 0, 1) , r, dr, dtheta = integral duplaD 3 , r, dr, dtheta e :
Mas para simplificar, vamos considerar a orientação para que o vetor normal aponte para fora, e a área diferencial em coordenadas cilíndricas é .
Então, a integral fica:
No entanto, devido à simetria, podemos simplificar diretamente a integral:
Onde é o disco de raio 3.

Passo 5

Vamos calcular a integral:
integral duplaD 3r, dr, dtheta = 3 integral0^2pi integral0^3 r, dr, dtheta
Primeiro, integra com relação a integral0^3 r, dr = [ 12r^2 ]0^3 = 12(9) = 92 :
3 times 92 times integral0^2pi dtheta = 272 times 2pi = 27pi
Depois, integra com relação a :

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de linha ao redor da borda x = 3costheta, y = 3sintheta, z = 0 da superfície dr = (-3sintheta, 3costheta, 0) dtheta . A borda é o círculo F = (2z, 3x, 5y) = (0, 9costheta, 15sintheta) no plano ointC F cdot dr = integral0^2pi (0 times (-3sintheta) + 9costheta times 3costheta + 15sintheta times 0 ) dtheta = integral0^2pi 27cos^2theta , dtheta .
Usaremos parametrização em coordenadas cilíndricas:
Para de a .
A derivada é:
Substituindo na função :
A integral de linha fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral:
integral0^2pi 27cos^2theta , dtheta = 27 integral0^2pi cos^2theta , dtheta
Sabemos que:
cos^2theta = 1 + cos(2theta)2
Então:
27 integral0^2pi 1 + cos(2theta)2 , dtheta = 272 integral0^2pi 1 , dtheta + 272 integral0^2pi cos(2theta) , dtheta
O primeiro termo é:
272 times 2pi = 27pi
O segundo termo é zero, pois .
Portanto, a integral de linha também é .

Resposta

Assim, verificamos que tanto a integral de superfície quanto a integral de linha são iguais a , confirmando o Teorema de Stokes para a superfície dada.

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