A tabela seguinte representa as alturas (em cm) de 40 alunos de uma classe.
162 163 148 166 169 154 170 166
164 165 159 175 155 163 171 172
170 157 176 157 157 165 158 158
160 158 163 165 164 178 150 168
166 169 152 170 172 165 162 164
a) Calcular a amplitude total.
b) Admitindo-se 6 classes, qual a amplitude do intervalo de classe?
c) Construir uma tabela de frequências simples absoluta e relativa das alturas dos alunos admitindo que o limite inferior da 1^{\underline{\mathrm{a}}} classe seja 148 cm .
d) Determinar os pontos médios das classes.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei estes números da tabela do enunciado).
  • Dados: as alturas (em cm) de 40 alunos (copiadas da tabela): 162,\;163,\;148,\;166,\;169,\;154,\;170,\;166,
164,\;165,\;159,\;175,\;155,\;163,\;171,\;172,
170,\;157,\;176,\;157,\;157,\;165,\;158,\;158,
160,\;158,\;163,\;165,\;164,\;178,\;150,\;168,
166,\;169,\;152,\;170,\;172,\;165,\;162,\;164.
  • O enunciado pede:
    (a) calcular a amplitude total;
    (b) admitindo-se 6 classes, achar a amplitude do intervalo de classe;
    (c) construir a tabela de frequências absoluta e relativa supondo que o limite inferior da 1^{\underline{\mathrm{a}}} classe seja 148 cm;
    (d) determinar os pontos médios das classes.

Passo 2

O que é amplitude total e como calcular: amplitude total é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo do conjunto de dados. Em fórmula:
\text{amplitude total} = \max(x) - \min(x).
Vamos achar \min(x) e \max(x) olhando a lista de alturas. O menor valor observado é 148 e o maior é 178. Portanto:
\text{amplitude total} = 178 - 148 = 30\\ \text{cm}.
Comentário breve e amigável: é só olhar o menor e o maior — tarefa simples, respira! 😃

Passo 3

Como escolher a amplitude do intervalo de classe quando se quer k classes: a amplitude (largura) de cada classe h costuma ser aproximada por
h = \frac{\text{amplitude total}}{k}.
Aqui \text{amplitude total}=30 e k=6. Calculando:
h = \frac{30}{6} = 5\\ \text{cm}.
Observação didática: às vezes h não dá inteiro e aí arredonda-se para cima para cobrir todos os dados; aqui deu exatamente 5, então usamos h=5 sem problema.

Passo 4

Definir os limites das classes a partir do limite inferior da 1^{\underline{\mathrm{a}}} classe igual a 148 cm e com largura h=5 cm.
Usarei a convenção prática: incluir o limite inferior e excluir o limite superior em cada classe (ou seja, classe do tipo [a,b)), exceto a última classe que fechamos à direita para incluir o maior valor. As classes ficam:
\text{Classe 1: }[148,153),
\text{Classe 2: }[153,158),
\text{Classe 3: }[158,163),
\text{Classe 4: }[163,168),
\text{Classe 5: }[168,173),
\text{Classe 6: }[173,178] \quad(\text{última inclui }178).ú
Explicação rápida: cada classe tem amplitude 5 porque 153-148=5, 158-153=5, etc.

Passo 5

Contagem das observações em cada classe (frequência absoluta). Vou dizer explicitamente que estou usando os valores da lista do enunciado para contar quantas alturas caem em cada intervalo.
  • Classe 1 [148,153): valores que pertencem: 148,\;150,\;152. Conta: 3.
  • Classe 2 [153,158): valores: 154,\;155,\;157,\;157,\;157. Conta: 5.
  • Classe 3 [158,163): valores: 158,\;158,\;158,\;159,\;160,\;162,\;162. Conta: 7.
  • Classe 4 [163,168): valores: 163,\;163,\;163,\;164,\;164,\;164,\;165,\;165,\;165,\;165,\;166,\;166,\;166. Conta: 13.
  • Classe 5 [168,173): valores: 168,\;169,\;169,\;170,\;170,\;170,\;171,\;172,\;172. Conta: 9.
  • Classe 6 [173,178]: valores: 175,\;176,\;178. Conta: 3.
Verificação: somando as frequências absolutas dá 3+5+7+13+9+3=40, que confere com o total de observações.
Agora a frequência relativa fr é a frequência absoluta dividida pelo total n=40:
  • Classe 1: f=3, fr=\dfrac{3}{40}=0,075 (ou 7,5\%).
  • Classe 2: f=5, fr=\dfrac{5}{40}=0,125 (ou 12,5\%).
  • Classe 3: f=7, fr=\dfrac{7}{40}=0,175 (ou 17,5\%).
  • Classe 4: f=13, fr=\dfrac{13}{40}=0,325 (ou 32,5\%).
  • Classe 5: f=9, fr=\dfrac{9}{40}=0,225 (ou 22,5\%).
  • Classe 6: f=3, fr=\dfrac{3}{40}=0,075 (ou 7,5\%).
Cheque rápido: as frequências relativas somam 0,075+0,125+0,175+0,325+0,225+0,075=1,0.

Passo 6

Construção organizada da tabela de frequências (resumo final, cada linha: classe — frequência absoluta f — frequência relativa fr):
[148,153)\\ ;\\ f=3\\ ;\\ fr=\dfrac{3}{40}=0,075\\ (7,5\%)
[153,158)\\ ;\\ f=5\\ ;\\ fr=\dfrac{5}{40}=0,125\\ (12,5\%)
[158,163)\\ ;\\ f=7\\ ;\\ fr=\dfrac{7}{40}=0,175\\ (17,5\%)
[163,168)\\ ;\\ f=13\\ ;\\ fr=\dfrac{13}{40}=0,325\\ (32,5\%)
[168,173)\\ ;\\ f=9\\ ;\\ fr=\dfrac{9}{40}=0,225\\ (22,5\%)
[173,178]\\ ;\\ f=3\\ ;\\ fr=\dfrac{3}{40}=0,075\\ (7,5\%)

Passo 7

Cálculo dos pontos médios das classes: o ponto médio m_i de uma classe [a,b) (ou [a,b] no caso da última) é
m_i = \frac{a+b}{2}.
Calculemos para cada classe (unidade: cm):
  • Classe 1: m_1 = \dfrac{148+153}{2} = 150,5.
  • Classe 2: m_2 = \dfrac{153+158}{2} = 155,5.
  • Classe 3: m_3 = \dfrac{158+163}{2} = 160,5.
  • Classe 4: m_4 = \dfrac{163+168}{2} = 165,5.
  • Classe 5: m_5 = \dfrac{168+173}{2} = 170,5.
  • Classe 6: m_6 = \dfrac{173+178}{2} = 175,5.
Explicação prática: o ponto médio é o “centro” do intervalo — útil para estimativas de média pela distribuição por classes.

Resposta

(a) 30\\ \text{cm}
(b) 5\\ \text{cm}
(c)
[148,153)\\ ;\\ f=3\\ ;\\ fr=\dfrac{3}{40}=0,075\\ (7,5\%)
[153,158)\\ ;\\ f=5\\ ;\\ fr=\dfrac{5}{40}=0,125\\ (12,5\%)
[158,163)\\ ;\\ f=7\\ ;\\ fr=\dfrac{7}{40}=0,175\\ (17,5\%)
[163,168)\\ ;\\ f=13\\ ;\\ fr=\dfrac{13}{40}=0,325\\ (32,5\%)
[168,173)\\ ;\\ f=9\\ ;\\ fr=\dfrac{9}{40}=0,225\\ (22,5\%)
[173,178]\\ ;\\ f=3\\ ;\\ fr=\dfrac{3}{40}=0,075\\ (7,5\%)
(d) Pontos médios: 150,5,\;155,5,\;160,5,\;165,5,\;170,5,\;175,5 (em cm)

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