Determine o fluxo do campo vetorial \vec{f}(x, y, z)=\left(y^{2}, x, z^{2}\right) e S é parte do paraboloide z=x^{2}+y^{2} abaixo do plano z=1.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
\displaystyle \vec f(x,y,z)=(y^2,\;x,\;z^2)
através da porção do paraboloide
z = x^2 + y^2,
para x^2+y^2\le1, orientado no sentido “para cima” (normal com componente z positiva).
O método mais direto é usar a fórmula de fluxo para superfícies dadas como gráfico z = g(x,y):
\Phi = \iint_D \bigl(-P\,g_x - Q\,g_y + R\bigr)\,dA,
onde \vec f=(P,Q,R) e D é a projeção de S no plano xy, aqui o disco x^2+y^2\le1.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de g(x,y)=x^2+y^2:
g_x = 2x, \qquad g_y = 2y.
Como \vec f=(P,Q,R)=(y^2,\;x,\;z^2), o integrando fica
-\,P\,g_x \;-\;Q\,g_y \;+\;R = -\,y^2\,(2x)\;-\;x\,(2y)\;+\;z^2.
Na superfície z=x^2+y^2, substituímos z^2=(x^2+y^2)^2.

Passo 3

O integrando em D é, portanto,
-2x\,y^2 \;-\;2x\,y \;+\;(x^2+y^2)^2.
Logo
\Phi = \iint_{x^2+y^2\le1} \bigl(-2xy^2 -2xy + (x^2+y^2)^2\bigr)\,dA.

Passo 4

Passamos a coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta, \quad 0\le r\le1,\;0\le\theta\le2\pi.
Em polares:
-2x\,y^2 = -2\,r\cos\theta\,(r\sin\theta)^2 = -2r^3\cos\theta\sin^2\theta,
-2x\,y = -2\,r^2\cos\theta\sin\theta,
(x^2+y^2)^2 = r^4.
Multiplicando por r de dA, o integrando total é
-2r^4\cos\theta\sin^2\theta \;-\;2r^3\cos\theta\sin\theta \;+\;r^5.

Passo 5

Integramos em \theta de 0 a 2\pi. Os termos que envolvem \cos\theta\sin^k\theta anulam-se por serem funções de média zero no período. Resta
\Phi = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1} r^5 \,dr\,d\theta = \Bigl(\int_{0}^{2\pi}d\theta\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{1}r^5\,dr\Bigr) = 2\pi\;\cdot\;\frac{1}{6} = \frac{\pi}{3}.

Resposta

\boxed{\Phi = \frac{\pi}{3}.}

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