Determine o fluxo do campo vetorial
e S é parte do paraboloide
abaixo do plano
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
através da porção do paraboloide
através da porção do paraboloide
para
, orientado no sentido “para cima” (normal com componente
positiva).
O método mais direto é usar a fórmula de fluxo para superfícies dadas como gráfico :
O método mais direto é usar a fórmula de fluxo para superfícies dadas como gráfico
onde
e
é a projeção de
no plano
, aqui o disco
.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de
:
Como
, o integrando fica
Na superfície
, substituímos
.
Passo 3
O integrando em
é, portanto,
Logo
Passo 4
Passamos a coordenadas polares:
Em polares:
Multiplicando por
de
, o integrando total é
Passo 5
Integramos em
de
a
. Os termos que envolvem
anulam-se por serem funções de média zero no período. Resta